2024年(令和6年)一橋大学-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.03.24記

[3] $f(x)$ は $x$ に関する $4$ 次多項式で $4$ 次の係数は $1$ である． $f(x)$ は $(x+1)^2$ で割ると $1$ 余り， $(x-1)^2$ で割ると $2$ 余る． $f(x)$ を求めよ．

本問のテーマ

3次関数の箱（4等分×2等分）
エルミート補間
部分分数分解
ヘビサイドの cover up 法

2024.03.24記
$f(a)$ ， $f’(a)$ ， $f’’(a)$ ，…， $f(b)$ ， $f'(b)$ ， $f’’(b)$ ，…，
の値から，この条件をみたす多項式関数を求める方法としてエルミート補間がある．

ただ本問はエルミート補間公式を使うまでもないし，エルミート補間公式を覚えるよりも部分分数分解を利用してヘビサイドのカバーアップ法と結びつける法が良いだろう．

本問は条件が簡単なので，これらの一般的はことを考える必要はなく，3次関数の箱（4等分×2等分）で簡単に求まる．

3次関数の箱（4等分×2等分）

[解答]
$g(-1)=1$ ， $g’(-1)=0$ ， $g(1)=2$ ， $g'(1)=0$ をみたす3次式以下の多項式 $g(x)$ に対して
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$
が求める多項式となる．

$g(x)$ を求めるには，2×4 の分割（と $\sqrt{3}$ の関係）を考えると
$g(x)=-\dfrac{1}{4}(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})+\dfrac{3}{2}$ $=-\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}$
となるので
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$ $=x^4-2x^2+1-\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}$ $=x^4-\dfrac{x^3}{4}-2x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$
となる．

2024.03.25記

部分分数分解

$g(x)$ を未知数を利用して設定するには，部分分数分解
$\dfrac{g(x)}{(x+1)^2(x-1)^2}$ $=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2}$ $+\dfrac{C}{x-1}+\dfrac{D}{(x-1)^2}$
の分母を払った
$g(x)$ $=A(x+1)(x-1)^2$ $+B(x-1)^2$ $+C(x+1)^2(x-1)$ $+D(x+1)^2$
を利用すれば良い．

[大人の解答]
$g(-1)=1$ ， $g’(-1)=0$ ， $g(1)=2$ ， $g'(1)=0$ をみたす3次式以下の多項式 $g(x)$ に対して
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$
が求める多項式となる．

$g(x)=A(x+1)(x-1)^2$ $+B(x-1)^2$ $+C(x+1)^2(x-1)$ $+D(x+1)^2$
とおくと，
$g(-1)=4B$ より $B=\dfrac{1}{4}$ ，
$g(1)=4D$ より $D=\dfrac{1}{2}$
である．また
$g'(x)=A(x-1)^2+2A(x+1)(x-1)$ $+2B(x-1)$ $+2C(x+1)(x-1)+C(x+1)^2$ $+2D(x+1)$
により
$g'(-1)=4A-4B$ より $A=\dfrac{1}{4}$ ，
$g'(1)=4C+4D$ より $C=-\dfrac{1}{2}$
であるから，
$g(x)=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)^2$ $+\dfrac{1}{4}(x-1)^2$ $-\dfrac{1}{2}(x+1)^2(x-1)$ $+\dfrac{1}{2}(x+1)^2$
$=\dfrac{1}{4}(-x^3+3x+6)$
となる．よって
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$ $=x^4-2x^2+1+\dfrac{1}{4}(-x^3+3x+6)$ $=x^4-\dfrac{x^3}{4}-2x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$
となる．

ヘビサイドの cover up 法

部分分数分解の係数はヘビサイドの coover up 法で求めることができるので，これを用いると

[大人の解答]
$g(-1)=1$ ， $g’(-1)=0$ ， $g(1)=2$ ， $g'(1)=0$ をみたす3次式以下の多項式 $g(x)$ に対して
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$
が求める多項式となる．

$\dfrac{g(x)}{(x+1)^2(x-1)^2}$ $=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2}$ $+\dfrac{C}{x-1}+\dfrac{D}{(x-1)^2}$
とおくと
$B=\dfrac{g(x)}{(x-1)^2}\Big|_{x=-1}=\dfrac{1}{4}$ ，
$D=\dfrac{g(x)}{(x+1)^2}\Big|_{x=1}=\dfrac{1}{2}$
であり，
$A=\dfrac{1}{1!}\left(\dfrac{g(x)}{(x-1)^2}\right)'\Big|_{x=-1}$
$=\dfrac{g'(x)(x-1)-2g(x)}{(x-1)^3}\Big|_{x=-1}$ $=\dfrac{1}{4}$ ，
$C=\dfrac{1}{1!}\left(\dfrac{g(x)}{(x+1)^2}\right)'\Big|_{x=1}$
$=\dfrac{g'(x)(x+1)-2g(x)}{(x+1)^3}\Big|_{x=1}$ $=-\dfrac{1}{2}$
であるから，
$g(x)=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)^2$ $+\dfrac{1}{4}(x-1)^2$ $-\dfrac{1}{2}(x+1)^2(x-1)$ $+\dfrac{1}{2}(x+1)^2$
$=\dfrac{1}{4}(-x^3+3x+6)$
となる．よって
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$ $=x^4-2x^2+1+\dfrac{1}{4}(-x^3+3x+6)$ $=x^4-\dfrac{x^3}{4}-2x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$
となる．

のようになる．

エルミート補間

一般に，3次式 $g(x)$ について $g(a)$ ， $g’(a)$ ， $g(b)$ ， $g'(b)$ が与えられたとき
$\dfrac{g(x)}{(x-a)^2(x-b)^2}$ $=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}$ $+\dfrac{C}{x-b}+\dfrac{D}{(x-b)^2}$
とおくと
$B=\dfrac{g(x)}{(x-b)^2}\Big|_{x=a}=\dfrac{g(a)}{(a-b)^2}$ ，
$D=\dfrac{g(x)}{(x-a)^2}\Big|_{x=b}=\dfrac{g(b)}{(b-a)^2}$
であり，
$A=\dfrac{g'(x)(x-b)-2g(x)}{(x-b)^3}\Big|_{x=a}$ $=\dfrac{g'(a)(a-b)-2g(a)}{(a-b)^3}$
$C=\dfrac{g'(b)(b-a)-2g(b)}{(b-a)^3}$
となるので，
$g(x)$ $=\dfrac{g'(a)(a-b)-2g(a)}{(a-b)^3}\cdot\dfrac{(x-a)^2(x-b)^2}{x-a}$ $+\dfrac{g(a)}{(a-b)^2}\cdot\dfrac{(x-a)^2(x-b)^2}{(x-a)^2}$ $+\dfrac{g'(b)(b-a)-2g(b)}{(b-a)^3}\cdot\dfrac{(x-a)^2(x-b)^2}{x-b}$ $+\dfrac{g(b)}{(b-a)^2}\cdot\dfrac{(x-a)^2(x-b)^2}{(x-b)^2}$
$=g'(a)\left\{(x-a)\cdot \dfrac{(x-b)^2}{(a-b)^2}\right\}$ $+g(a)\left\{\left(1+2\cdot\dfrac{x-a}{b-a}\right)\cdot\dfrac{(x-b)^2}{(a-b)^2}\right\}$
$+g'(b)\left\{(x-b)\cdot \dfrac{(x-a)^2}{(b-a)^2}\right\}$ $+g(b)\left\{\left(1+2\cdot\dfrac{x-b}{a-b}\right)\cdot\dfrac{(x-a)^2}{(b-a)^2}\right\}$
となる．

[大人の解答]
$g(-1)=1$ ， $g’(-1)=0$ ， $g(1)=2$ ， $g'(1)=0$ をみたす3次式以下の多項式 $g(x)$ に対して
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$
が求める多項式となる．

エルミート補間公式により
$g(x)$ $=g'(-1)\left\{(x+1)\cdot \dfrac{(x-1)^2}{(-2)^2}\right\}$ $+g(-1)\left\{\left(1+2\cdot\dfrac{x+1}{2}\right)\cdot\dfrac{(x-1)^2}{(-2)^2}\right\}$
$+g'(1)\left\{(x-1)\cdot \dfrac{(x+1)^2}{2^2}\right\}$ $+g(1)\left\{\left(1+2\cdot\dfrac{x-1}{-2}\right)\cdot\dfrac{(x+1)^2}{2^2}\right\}$
$=\dfrac{(x+2)(x-1)^2}{4}$ $+\dfrac{(2-x)(x+1)^2}{2}$
$=\dfrac{1}{4}(-x^3+3x+6)$
となる．よって
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$ $=x^4-2x^2+1+\dfrac{1}{4}(-x^3+3x+6)$ $=x^4-\dfrac{x^3}{4}-2x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$
となる．

良くある出題は「 $x=a$ で極大」のような設定であり，与えられた $f'$ の値が全て0となることが多く，その場合は単純に
$g(x)$ $=g(a)\left\{\left(1+2\cdot\dfrac{x-a}{b-a}\right)\cdot\dfrac{(x-b)^2}{(a-b)^2}\right\}$ $+g(b)\left\{\left(1+2\cdot\dfrac{x-b}{a-b}\right)\cdot\dfrac{(x-a)^2}{(b-a)^2}\right\}$
となるが，もちろん覚える必要はない．