[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2023年(令和5年)京都大学-数学(文系)[5]

2023.11.23記

[5] 整式 f(x) が恒等式
f(x)+\displaystyle\int_{-1}^1 {(x-y)}^2 f(y) dy=2x^2+x+\dfrac{5}{3}
を満たすとき， f(x) を求めよ．

2023.11.23記

[解答]
\displaystyle\int_{-1}^1 f(y) dy=A，
\displaystyle\int_{-1}^1 yf(y) dy=B，
\displaystyle\int_{-1}^1 y^2f(y) dy=C
とおくと，
f(x)+Ax^2-2Bx+C=2x^2+x+\dfrac{5}{3}
となるので，
f(x)=(2-A)x^2+(1+2B)x+\dfrac{5-3C}{3}
が成立する．よって
\displaystyle\int_{-1}^1 f(y) dy=\dfrac{4-2A}{3}+\dfrac{10-6C}{3}=A，
\displaystyle\int_{-1}^1 yf(y) dy=\dfrac{2+4B}{3}=B，
\displaystyle\int_{-1}^1 y^2f(y) dy=\dfrac{4-2A}{5}+\dfrac{10-6C}{9}=C
が成立する．整理して
5A+6C=14，
B=-2，
18A+75C=86
となり，これを解いて A=2，B=-2，C=\dfrac{2}{3} となり，
f(x)=-3x+1

深く考えずに文字を設定したら連立方程式が難しくなってしまった．