2023年(令和5年)京都大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.23記

[2] 空間内の4点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ は同一平面上にないとする．点 $\mbox{D}$ ， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を次のように定める．点 $\mbox{D}$ は $\overrightarrow{\mbox{OD}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}+2\overrightarrow{\mbox{OB}}+3\overrightarrow{\mbox{OC}}$ を満たし，点 $\mbox{P}$ は線分 $\mbox{OA}$ を $1:2$ に内分し，点 $\mbox{Q}$ は線分 $\mbox{OB}$ の中点である．さらに，直線 $\mbox{OD}$ 上の点 $\mbox{R}$ を，直線 $\mbox{QR}$ と直線 $\mbox{PC}$ が交点を持つように定める．このとき，線分 $\mbox{OR}$ の長さと線分 $\mbox{RD}$ の長さの比 $\mbox{OR}:\mbox{RD}$ を求めよ．

2023.11.23記

[解答]
$\overrightarrow{\mbox{OP}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{OA}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mbox{OB}}$ である．

直線 $\mbox{PC}$ 上の点は $\dfrac{t}{3}\overrightarrow{\mbox{OA}}+(1-t)\overrightarrow{\mbox{OC}}$ と書け，
$\overrightarrow{\mbox{OR}}=s\overrightarrow{\mbox{OA}}+2s\overrightarrow{\mbox{OB}}+3s\overrightarrow{\mbox{OC}}$
とおくと，直線 $\mbox{QR}$ 上の点は
$rs\overrightarrow{\mbox{OA}}+\left(2rs+\dfrac{1-r}{2}\right)\overrightarrow{\mbox{OB}}+3rs\overrightarrow{\mbox{OC}}$
と書ける．よって直線 $\mbox{QR}$ と直線 $\mbox{PC}$ が交点を持つとき， $\overrightarrow{\mbox{OA}}，\overrightarrow{\mbox{OB}}，\overrightarrow{\mbox{OC}}$ が一次独立であるから，
$\dfrac{t}{3}=rs$ ， $0=4rs+1-r$ ， $1-t=3rs$
が成立する．よって $rs=\dfrac{1}{6}$ ， $t=\dfrac{1}{2}$ ， $r=\dfrac{5}{3}$ ， $s=\dfrac{1}{10}$ となる．

以上から $\mbox{OR}:\mbox{RD}=s:(1-s)=1:9$