2023年(令和5年)京都大学-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.23記

[4] 次の関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ．
$f(x)=e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2+1+\dfrac{1}{ \displaystyle e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2+1 }$
$-1 \leqq x \leqq 1)$
ただし， $e$ は自然対数の底であり，その値は $e=2.71\cdots\cdots$ である．

2023.11.23記

[解答]
$X=g(t)=e^{-t}+\dfrac{1}{4}t+1$ とおくと， $X$ の $0\leqq t\leqq 1$ の値域は，
$g'(t)=-e^{-t}+\dfrac{1}{4}$ であるから， $g'(t)=0$ となる $t=\log 4\gt \log e=1$ は $g(t)$ の定義域に入らず，
定義域で $g'(t)\lt 0$ であるから，単調減少となり，
$(1\lt )g(1)=\dfrac{1}{e}+\dfrac{5}{4}\leqq X\leqq g(0)=2$
が成立する．

ここで， $X+\dfrac{1}{X}$ は $X\gt 1$ で単調増加であるから，
$f(x)$ は $t=1$ ，つまり $x=\pm 1$ で最小値
$e^{-1}+\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{e^{-1}+\dfrac{5}{4}}$ $\dfrac{1}{e}+\dfrac{5}{4}+\dfrac{4e}{5e+4}$
をとり， $f(x)$ は $t=0$ ，つまり $x=0$ で最大値
$2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$
をとる．