2023年(令和5年)京都大学理学部特色入試・数理科学入試-数学[3]

2023.01.23記

[3] 複素数の数列 $\{z_n\}$ に対する次の2つの条件を考える．

(i) すべての自然数 $n$ に対して， $|z_n-z_{n+1}|=2^n$ が成り立つ．

(ii) すべての自然数 $n$ に対して， $\dfrac{(z_n-z_{n+1})(z_{n+2}-z_{n+3})}{ (z_{n+1}-z_{n+2})(z_{n+3}-z_{n}) }$ は実数である．

複素数の数列 $\{z_n\}$ で (i) と (ii) をともに満たすものをすべて考えたとき， $\dfrac{z_{2022}-z_{2023}}{z_{2023}-z_{2024}}$ がとり得る値をすべて求めよ．

本問のテーマ

複素数平面上の異なる4点が共円または共線となる条件

2023.01.23記
条件 (ii) は4点 $z_n，z_{n+1}，z_{n+2}，z_{n+3}$ が同一円周上または同一直線上にあるという条件である．

[解答]
$|z_n-z_{n+1}|=2^n$ ， $|z_{n+2}-z_{n+1}|=2^{n+1}$ より複素数平面上で $z_n$ は $z_{n+1}$ 中心，半径 $2^n$ の円周上にあり， $z_{n+2}$ は $z_{n+1}$ 中心，半径 $2^{n+1}$ の円周上にあるので，
$z_n，z_{n+1}，z_{n+2}$ は任意の自然数 $n$ に対して異なる3点である．

条件(ii)から
$\left|\dfrac{(z_n-z_{n+1})(z_{n+2}-z_{n+3})}{ (z_{n+1}-z_{n+2})(z_{n+3}-z_{n}) }\right|=\dfrac{2^{n+1}}{|z_{n+3}-z_n|}$ は実数となるので
$z_n\neq z_{n+3}$ であり，
$z_n，z_{n+1}，z_{n+2}$ が異なる3点で，かつ $z_{n+1}，z_{n+2}，z_{n+3}$ は異なる3点であるから，

任意の自然数 $n$ に対して　 $z_n，z_{n+1}，z_{n+2}，z_{n+4}$ は異なる4点である．……(★)

このとき，条件(ii)は
$\dfrac{z_n-z_{n+1}}{z_{n+2}-z_{n+1}}\cdot \dfrac{z_{n+2}-z_{n+3}}{z_{n}-z_{n+3}}$ は実数，つまり
$\mbox{arg}\dfrac{z_n-z_{n+1}}{z_{n+2}-z_{n+1}}+\mbox{arg}\dfrac{z_{n+2}-z_{n+3}}{z_{n}-z_{n+3}}$ が $\pi$ の整数倍
となり
$\angle z_nz_{n+1}z_{n+2}=\angle z_nz_{n+3}z_{n+2}$ または $\angle z_nz_{n+1}z_{n+2}+\angle z_nz_{n+3}z_{n+2}=\pi$
となる．

よって条件(ii) は
(a) $\angle z_nz_{n+1}z_{n+2}\neq 0，\pi$ のとき，異なる4点 $z_n，z_{n+1}，z_{n+2}，z_{n+3}$ が同一円周上，
(b) $\angle z_nz_{n+1}z_{n+2}=0，\pi$ のとき，異なる4点 $z_n，z_{n+1}，z_{n+2}，z_{n+3}$ が同一直線上
となり，帰納的に
(a) 全ての $\{z_n\}$ は同一円周上にある，
(b) 全ての $\{z_n\}$ は同一直線上にある
のいずれかが成り立つことになる．

ここで (a)の場合， $|z_n-z_{n+1}|\leqq (円の直径)$ をみたさなければならないが， $|z_n-z_{n+1}|$ はいくらでも大きくなるので矛盾するので (b)，つまり全ての $\{z_n\}$ は同一直線上にある．

全ての $\{z_n\}$ は同一直線上にあるとき， $z_{2022}-z_{2023}，z_{2023}-z_{2024}$ は直線に平行な複素数となるので偏角は等しいか $\pi$ ずれており，いずれにせよ $\dfrac{z_{2022}-z_{2023}}{z_{2023}-z_{2024}}$ は実数である．

また，その絶対値は $\dfrac{2^{2022}}{2^{2023}}=\dfrac{1}{2}$ であるから，この複素数の値は $\pm\dfrac{1}{2}$ となる必要がある．

$z_n=2^{n}$ とおくと，これは(i)(ii) をみたし， $\dfrac{z_{2022}-z_{2023}}{z_{2023}-z_{2024}}=\dfrac{1}{2}$ となり，
$z_n=\dfrac{(-2)^{n}}{3}$ とおくと，これは(i)(ii) をみたし， $\dfrac{z_{2022}-z_{2023}}{z_{2023}-z_{2024}}=-\dfrac{1}{2}$ となるので，
とり得る値は $\pm\dfrac{1}{2}$ である．

[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2023年(令和5年)京都大学理学部特色入試・数理科学入試-数学[3]