2023年(令和5年)京都大学理学部特色入試・数理科学入試-数学[4]

2023.01.23記

[4] $p$ を $3$ 以上の素数とし， $a$ を整数とする．このとき， $p^2$ 以上の整数 $n$ であって ${}_n\mbox{C}_{p^2} \equiv a \pmod {p^3}$ を満たすものが存在することを示せ．

2023.01.23記
いや，無理でしょう．

2021年(令和3年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
で挙げた
D.F. Bailey, Two p^3 variations of Lucas’ theorem, J. Number Theory 35 (1990), 208–215.(pdf)
に $p\geqq 5$ をみたす素数と任意の自然数 $n,r$ について
${}_{np}\mbox{C}_{rp}\equiv {}_{n}\mbox{C}_{r} \pmod {p^3}$
が成立するので，
${}_{(np)p}\mbox{C}_{(p)p}\equiv {}_{np}\mbox{C}_{p}\equiv {}_{n}\mbox{C}_{1}=n \pmod {p^3}$
が成立することがわかるので，

(i) $p\geqq 5$ のときは
${}_{ap^2}\mbox{C}_{p^2}\equiv a \pmod {p^3}$
を証明すれば良く（証明は論文の Lemma 1にある），

(ii) $p=3$ のときは (i) の証明で $p\geqq 5$ を使わない部分を参考にして証明を考える

という感じになるけど、もっと上手な方法があるのかなぁ．いずれにせよ普通は思いつかないと思う．