2000年(平成12年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.12記

[1] $\mbox{AB}=\mbox{AC}$ ， $\mbox{BC}=2$ の直角二等辺三角形 $\mbox{ABC}$ の各辺に接し，ひとつの軸が辺 $\mbox{BC}$ に平行な楕(だ)円の面積の最大値を求めよ．

[2] 複素数平面上の原点以外の相異なる $2$ 点 $\mbox{P}(\alpha)$ ， $\mbox{Q}(\beta)$ を考える． $\mbox{P}(\alpha)$ ， $\mbox{Q}(\beta)$ を通る直線を $l$ ，原点から $l$ に引いた垂線と $l$ の交点を $\mbox{R}(w)$ とする．ただし，複素数 $\gamma$ が表す点 $\mbox{C}$ を $\mbox{C}(\gamma)$ とかく．このとき，

「 $w=\alpha\beta$ であるための必要十分条件は， $\mbox{P}(\alpha)$ ， $\mbox{Q}(\beta)$ が中心 $\mbox{A}\left(\dfrac{1}{2}\right)$ ，半径 $\dfrac{1}{2}$ の円周上にあることである．」
を示せ．

[3] $a\gt 0$ とする．正の整数 $n$ に対して，区間 $0\leqq x\leqq a$ を $n$ 等分する点の集合 $\left\{ 0, \dfrac{a}{n}, …, \dfrac{n-1}{n}a, a \right\}$
の上で定義された関数 $f_n(x)$ があり，次の方程式を満たす．
$\left\{\begin{array}{l} f_n(0)=c, \\ \dfrac{f_n(((k+1)h))-f_n(kh)}{h}\\ \quad\quad=\{1-f_n(kh)\}f_n((k+1)h) \\ \quad\quad\quad（k=0，1，…，n-1） \end{array}\right.$

ただし， $h=\dfrac{a}{n}$ ， $c\gt 0$ である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $p_k=\dfrac{1}{f_n(kh)}$ （ $k=0$ ， $1$ ，…， $n$ ）とおいて $p_k$ を求めよ．

(2) $g(a)=\displaystyle\lim_{n\to\infty} f_n(a)$ とおく． $g(a)$ を求めよ．

(3) $c=2$ ， $1$ ， $\dfrac{1}{4}$ それぞれの場合について， $y=g(x)$ の $x\gt 0$ でのグラフをかけ．

[4] 座標平面上を運動する3点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ があり，時刻 $t$ における座標が次で与えられている．
$\mbox{P}:x=\cos t，y=\sin t$ ，
$\mbox{Q}:x=1-vt，y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，
$\mbox{R}:x=1-vt，y=1$

ただし， $v$ は正の定数である．この運動において，以下のそれぞれの場合に $v$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(1) 点 $\mbox{P}$ と線分 $\mbox{QR}$ が時刻 $0$ から $2\pi$ までの間ではぶつからない．

(2) 点 $\mbox{P}$ と線分 $\mbox{QR}$ がただ一度だけぶつかる．

[5] 次の条件を満たす正の整数全体の集合を $S$ とおく．

「各けたの数字はたがいに異なり，どの2つのけたの数字の和も $9$ にならない．」

ただし， $S$ の要素は $10$ 進法で表す．また， $1$ けたの正の整数は $S$ に含まれるとする．
このとき次の問いに答えよ．

(1) $S$ の要素でちょうど4けたのものは何個あるか．

(2) 小さい方から数えて $2000$ 番目の $S$ の要素を求めよ．

[6] (1) $a$ ， $b$ ， $c$ を正の実数とするとき，
$\begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & c & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & y & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
を満たす実数 $x$ ， $y$ ， $z$ を $a$ ， $b$ ， $c$ で表せ．

(2) $a$ ， $b$ ， $c$ が
$1\leqq a\leqq 2$ ， $1\leqq b\leqq 2$ ， $1\leqq c\leqq 2$
の範囲を動くとき，(1)の $x$ ， $y$ ， $z$ を座標とする点 $(x,y,z)$ が描く立体を $\mbox{K}$ とする．立体 $\mbox{K}$ を平面 $y=t$ で切った切り口の面積を求めよ．