2016年(平成28年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2016年(平成28年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.03.22記
$\sqrt{n}$ と $10^k$ の差が1よりも小さいということになっている．ここで
$\sqrt{1+\alpha}\approx1+\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{\alpha^2}{8}$
の近似式を思い出せば
$\sqrt{10^{2k}+\alpha\times 10^{2k}}\approx10^k +\dfrac{\alpha}{2}\times 10^k -\dfrac{\alpha^2}{8}\times 10^k$
となるので， $\beta=a_1a_2\cdots a_k$ とおき， $\alpha =2\beta\times 10^{-2k}$ とおくと
$\sqrt{10^{2k}+2\beta}\approx10^k +\beta 10^{-k} -\dfrac{\beta^2}{8}\times 10^{-3k}$
となり， $0\lt \beta\lt 10^k$ から
$\sqrt{10^{2k}+2\beta}\approx10^k +\beta 10^{-k} - 10^{-k}$
という近似式が登場する．

[解答]

(1) $\beta=a_1a_2\cdots a_k$ で表現される $k$ 桁以下の整数とすると
$\beta\times 10^{-k}\leqq \sqrt{n}-10^k\lt \beta\times 10^{-k}+10^{-k}$
だから
$10^{k}+\beta\times 10^{-k} \leqq \sqrt{n}\lt 10^{k}+(\beta+1)\times 10^{-k}$
つまり
$10^{2k}+2\beta+\beta^2\times 10^{-2k} \leqq n$ $\lt 10^{2k}+2(\beta+1) +(\beta+1)^2\times 10^{-2k}$
が成立する．ここで $0\lt\beta\lt \beta+1\leqq 10^k$ だから，
$10^{2k}+2\beta\lt 10^{2k}+2\beta+\beta^2\times 10^{-2k}$ $\leqq 10^{2k}+2\beta+1$ ，
$10^{2k}+2(\beta+1)\lt 10^{2k}+2(\beta+1) +(\beta+1)^2\times 10^{-2k}$ $\leqq 10^{2k}+2(\beta+1)+1$
であるから，
$10^{2k}+2\beta+1\leqq n$ $\leqq 10^{2k}+2(\beta+1)$
が成立する．よって
$n=10^{2k}+2\times a_1a_2\cdots a_n+1$ または
$10^{2k}+2\times a_1a_2\cdots a_n+2$ である．

(2) $q=p\times 10^{-k}$ とおくと $q\geqq\dfrac{1}{2}$ であり，
$p+\beta\times 10^{-k}\leqq \sqrt{m}\lt p+(\beta+1)\times 10^{-k}$
から
$p^2+2\beta q+\beta^2\times 10^{-2k} \leqq m$ $\lt p^{2}+2(\beta+1) q +(\beta+1)^2\times 10^{-2k}$
が成立する．ここで
$\{p^{2}+2(\beta+1) q +(\beta+1)^2\times 10^{-2k}\}- \{p^2+2\beta q+\beta^2\times 10^{-2k}\}$ $=2q +(2\beta+1)\times 10^{-2k}\gt 1$
であるから，幅が1よりも大きい区間には必ず整数が少なくとも1つ存在する．よってその整数を $m$ とすれば良い．

(3) そのような正の整数が存在すると仮定すると， $\sqrt{s}=[\sqrt{s}]+\beta\times 10^{-k}（\beta\neq 0）$ が整数でない有理数となるが，整数の平方根が有理数ならばもとの整数は平方数であり，その平方根が整数でなければならないので矛盾する．よってそのような正の整数は存在しない．