2024年(令和6年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.28記

[1] 座標空間内の点 $\mbox{A}(0,-1,1)$ をとる． $xy$ 平面上の点 $\mbox{P}$ が次の条件(i)，(ii)，(iii) をすべて満たすとする．

(i) $\rm P$ は原点 $\rm O$ と異なる．

(ii) $\angle\mbox{AOP}\geqq \dfrac{2}{3}\pi$

(ii) $\angle\mbox{OAP}\leqq \dfrac{\pi}{3}$

$\mbox{P}$ がとりうる範囲を $xy$ 平面上に図示せよ．

[2] 次の関数 $f(x)$ を考える．
$f(x)=\displaystyle\int_0^1\dfrac{|t-x|}{1+t^2}dt$ （ $0\leqq x\leqq 1$ ）

(1) $0\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{4}$ を満たす実数 $\alpha$ で， $f'(\tan\alpha)=0$ となるものを求めよ．

(2) (1)で求めた $\alpha$ に対し， $\tan\alpha$ の値を求めよ．

(3) 関数 $f(x)$ の区間 $0\leqq x\leqq 1$ における最大値と最小値を求めよ．必要ならば， $0.69\lt\log 2\lt 0.7$ であることを用いてよい．

[3] 座標平面上を次の規則(i)，(ii)に従って1秒ごとに動く点 $P$ を考える．

(i) 最初に， $\mbox{P}$ は点 $(2, 1)$ にいる．

(ii) ある時刻で $\mbox{P}$ が点 $(a, b)$ にいるとき，その 1 秒後には $\mbox{P}$ は

$\bullet$ 確率 $\dfrac{1}{3}$ でx軸に関して $(a, b)$ と対称な点
$\bullet$ 確率 $\dfrac{1}{3}$ でy軸に関して $(a, b)$ と対称な点
$\bullet$ 確率 $\dfrac{1}{6}$ で $y=x$ 軸に関して $(a, b)$ と対称な点
$\bullet$ 確率 $\dfrac{1}{6}$ で $y=-x$ 軸に関して $(a, b)$ と対称な点

にいる．以下の問いに答えよ．ただし，(1)については，結論のみを書けばよい．

(1) $\mbox{P}$ がとりうる点の座標をすべて求めよ．

(2) $n$ を正の整数とする．最初から $n$ 秒後に $\mbox{P}$ が点 $(2, 1)$ にいる確率と，最初から $n$ 秒後に $\mbox{P}$ が点 $(-2,-1)$ にいる確率は等しいことを示せ．

(3) $n$ を正の整数とする．最初から $n$ 秒後に $\mbox{P}$ が点 $(2, 1)$ にいる確率を求めよ．

[4] $f(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}x^2+4\sqrt{2}$ とおく． $0\lt t\lt 4$ を満たす実数 $t$ に対し，座標平面上の点 $(t，f(t))$ を通り，この点において放物線 $y=f(x)$ との共通の接線を持ち， $x$ 軸上に中心を持つ円を $C_t$ とする．

(1) 円 $C_t$ の中心の座標を $(0，c(t))$ ，半径を $r(t))$ とおく． $c(t)$ と $\{r(t)\}^2$ を $t$ の整式で表せ．

(2) 実数 $a$ は $0\lt a\lt f(3)$ を満たすとする．円 $C_t$ が点 $(3,a)$ を通るような実数 $t$ は $0\lt t\lt 4$ の範囲にいくつあるか．

[5] 座標空間内に3点 $\mbox{A}(1,0,0)$ ， $\mbox{B}(0,1,0)$ ， $\mbox{C}(0,0,1)$ をとり， $\mbox{D}$ を線分 $\mbox{AC}$ の中点とする．三角形 $\mbox{ABD}$ の周および内部を $x$ 軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ．