1999年(平成11年)東京大学後期-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.11記

[1] (1) $n$ を正の整数とする． $-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の範囲において
$f_n(x)= \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{\sin nx}{\sin x} & -\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}\mbox{，}\, x \neq0 \\ c_n & x=0 \end{array}\right.$
とおくことにより定義される関数 $f_n(x)$ が，連続関数となるように定数 $c_n$ の値を定めよ．

(2) $f_3(x)$ は $\cos x$ ， $\cos 2x$ 等を用いて表せることを示し，定積分 $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f_3(x)\,dx$ の値を求めよ．

(3) 任意の正の整数 $n$ に対して，定積分 $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f_{2n+1}(x)\,dx$ の値を求めよ．

[2] 座標平面上の原点を $\mbox{O}(0,0)$ とする．また $x$ 座標および $y$ 座標がともに整数であるような点を格子点という．

(1) $t$ を正の実数とする．点 $\mbox{P}(-1,0)$ を通り，傾きが $t$ の直線と単位円 $x^2+y^2=1$ との $\mbox{P}$ 以外の交点を $\mbox{Q}(t)$ とする． $\mbox{Q}(t)$ の座標を求めよ．つぎに， $0\lt s\lt t$ をみたす2つの実数 $s$ ， $t$ に対し，線分 $\mbox{Q}(s)\mbox{Q}(t)$ の長さを求めよ．

(2) $\angle\mbox{Q}(s)\mbox{PO}=\alpha$ ， $\angle\mbox{Q}(t)\mbox{PO}=\beta$ とし， $u=\tan\dfrac{\alpha}{2}$ ， $v=\tan\dfrac{\beta}{2}$ とおく．もし $u$ ， $v$ がともに有理数ならば，線分 $\mbox{Q}(s)\mbox{Q}(t)$ の長さもまた有理数となることを示せ．

(3) 任意に与えられた $3$ 以上の整数 $n$ に対し，つぎの条件（ $\mbox{C}1$ ），（ $\mbox{C}2$ ），（ $\mbox{C}3$ ）をすべて満たす $n$ 個の異なる点 $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，…， $\mbox{A}_n$ が，座標平面上に存在することを証明せよ．

（ $\mbox{C}1$ ） $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，…， $\mbox{A}_n$ はすべて格子点である．

（ $\mbox{C}2$ ） $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，…， $\mbox{A}_n$ のどの異なる3点も一直線上にない．

（ $\mbox{C}3$ ） $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，…， $\mbox{A}_n$ のどの異なる $2$ 点 $\mbox{A}_i$ ， $\mbox{A}_j$ に対しても，線分 $\mbox{A}_i\mbox{A}_j$ の長さは整数である．

[3] 座標平面上にある2つの四角形 $\mbox{ABCD}$ と $\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'\mbox{D}'$ が相似であるとは，対応する $4$ つの頂点における内角がそれぞれ等しく，かつ対応する辺の長さの比がすべて等しいこととする．このとき

$\mbox{ABCD}$ ∽ $\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'\mbox{D}'$

と書く．ただし，四角形 $\mbox{ABCD}$ と書くときには，4つの頂点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ は図のようにつねに時計と反対回りに並んでいるものとし，また四角形は周および内部を込めて考えるものとする．

四角形 $\mbox{A}_0\mbox{B}_0\mbox{C}_0\mbox{D}_0$ が与えられたとき，この四角形から出発して，任意の整数 $n$ に対して四角形 $\mbox{A}_n\mbox{B}_n\mbox{C}_n\mbox{D}_n$ を以下のように帰納的に定める．

(I) $n=0$ のときは，与えられた四角形 $\mbox{A}_0\mbox{B}_0\mbox{C}_0\mbox{D}_0$ とする．

(II) $n\gt 0$ のときは，四角形 $\mbox{A}_{n-1}\mbox{B}_{n-1}\mbox{C}_{n-1}\mbox{D}_{n-1}$ まで定まったとして，四角形 $\mbox{A}_n\mbox{B}_n\mbox{C}_n\mbox{D}_n$ を

$\mbox{A}_n=\mbox{D}_{n-1}, \quad \mbox{B}_n=\mbox{C}_{n-1}$ かつ
$\mbox{A}_n\mbox{B}_n\mbox{C}_n\mbox{D}_n$ ∽ $\mbox{A}_{n-1}\mbox{B}_{n-1}\mbox{C}_{n-1}\mbox{D}_{n-1}$

となる四角形として定める．

(III) $n\lt 0$ のときは， $0$ ， $-1$ ，… と負の向きに進んで，四角形 $\mbox{A}_{n+1}\mbox{B}_{n+1}\mbox{C}_{n+1}\mbox{D}_{n+1}$ まで定まったとして，四角形 $\mbox{A}_n\mbox{B}_n\mbox{C}_n\mbox{D}_n$ を

$\mbox{D}_n=\mbox{A}_{n+1}, \quad \mbox{C}_n=\mbox{B}_{n+1}$ かつ
$\mbox{A}_n\mbox{B}_n\mbox{C}_n\mbox{D}_n$ ∽ $\mbox{A}_{n+1}\mbox{B}_{n+1}\mbox{C}_{n+1}\mbox{D}_{n+1}$

となる四角形として定める．

こうして定まった四角形 $\mbox{A}_n\mbox{B}_n\mbox{C}_n\mbox{D}_n$ を $K_n$ と書くことにする．

さて，座標平面上の3点 $\mbox{A}_0(2,1)$ ， $\mbox{B}_0(8,4)$ ， $\mbox{P}(4,12)$ を考える．原点を $\mbox{O}$ とし，線分 $\mbox{O}\mbox{P}$ 上に原点以外の $1$ 点 $\mbox{C}_0$ をとる．点 $\mbox{A}_0$ から線分 $\mbox{B}_0\mbox{C}_0$ に平行にひいた直線と，線分 $\mbox{O}\mbox{P}$ との交点を $\mbox{D}_0$ とする．このようにして定まる四角形 $\mbox{A}_0\mbox{B}_0\mbox{C}_0\mbox{D}_0$ から出発して，上記のようにして得られる四角形の系列

…， $K_{-2}$ ， $K_{-1}$ ， $K_0$ ， $K_1$ ， $K_2$ ，…

について考える．

(1) $\angle\mbox{B}_0\mbox{OP}$ を求めよ．

(2) 線分 $\mbox{OP}$ 上のある点 $\mbox{C}_0$ をえらび，それにより定まる四角形 $\mbox{A}_0\mbox{B}_0\mbox{C}_0\mbox{D}_0$ から出発して，四角形の系列

…， $K_{-2}$ ， $K_{-1}$ ， $K_0$ ， $K_1$ ， $K_2$ ，…

を作ったところ，ある $0$ でない整数 $n$ が存在して， $K_n=K_0$ となったという．このとき，点 $\mbox{C}_0$ の座標を求めよ．また， $K_n=K_0$ となる整数 $n$ の値をすべて求めよ．

(3) 線分 $\mbox{O}\mbox{P}$ 上のある点 $\mbox{C}_0$ をえらび，それにより定まる四角形 $\mbox{A}_0\mbox{B}_0\mbox{C}_0\mbox{D}_0$ から出発して，四角形の系列

…， $K_{-2}$ ， $K_{-1}$ ， $K_0$ ， $K_1$ ， $K_2$ ，…

を作ったところ，これら四角形が座標平面から原点を除いた部分を，辺と頂点以外には互いに重なることなく，すき間なくおおったという．このような性質をもつ点 $\mbox{C}_0$ をすべて求め，それらの座標を記せ．またそれらの場合のおのおのについて，点 $(100,50)$ が $K_n$ に含まれるような整数 $n$ の値をすべて求めよ．

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