1999年(平成11年)早稲田大学理工学部-数学[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.05.26記(2024.01.20修正)

[5] $n$ を正の整数とし， $y=n-x^2$ で表されるグラフと $x$ 軸とで囲まれる領域を考える．この領域の内部および周に含まれ， $x,y$ 座標の値がともに整数である点の個数を $a(n)$ とする．次の問いに答えよ．

(1) $a(5)$ を求めよ．

(2) $\sqrt{n}$ をこえない最大の整数を $k$ とする． $a(n)$ を $k$ と $n$ の多項式で表わせ．

(4) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{a(n)}{\sqrt{n^3}}$ を求めよ．

本問のテーマ

ピックの公式

2022.05.26記(2024.01.20修正)
放物線と直線からなる領域内の格子点の個数はピックの公式で数えられることが多い．

[大人の解答]
(2) $(-k,0)$ ， $(-k,n-k^2)$ ， $(-k+1,n-(k-1)^2)$ ，…， $(k,n-k^2)$ ， $(k,0)$ でできる多角形の面積は
$S=\displaystyle\int_{-k}^k (n-x^2)dx-2k\cdot\dfrac{1}{6}$ $=2nk-\dfrac{2k^3+k}{3}$
である．周上の格子点の数は $B=2(n-k^2)+4k$ であるから，ピックの公式から
$S=(a(n)-B)+\dfrac{B}{2}-1$
が成立し，
よって
$a(n)=S+\dfrac{B}{2}+1$ $=\left(2nk-\dfrac{2k^3+k}{3}\right)+(n-k^2+2k)+1$ $=\dfrac{(2k+1)(3n-k^2-k+3)}{3}$
となる．

(1) (2)で $n=5$ ， $k=2$ とおいて $a(5)=\dfrac{5\cdot 12}{3}=20$ となる．

(3) $k\leqq \sqrt{n}\leqq k+1$ から $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{k}{\sqrt{n}}=1$ となるので，
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{a(n)}{\sqrt{n^3}}$ $=\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{\left(2\dfrac{k}{\sqrt{n}}+1\right)\left(3-\left(\dfrac{k}{\sqrt{n}}\right)^2-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\cdot\dfrac{k}{\sqrt{n}}+\dfrac{3}{n}\right)}{3}$ $=\dfrac{2(3-1)}{3}=\dfrac{4}{3}$
である．

まぁ、領域の面積が $\dfrac{4}{3}\sqrt{n^3}$ だからね．