1989年(昭和64年)東京工業大学-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.22記

[4] 次の極限値を求めよ．

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} x^2 |\sin nx|dx$

2023.11.22記
$y=|\sin nx|$ の1周期部分の面積は $y=1$ の同じ区間における面積の $\dfrac{2}{\pi}$ 倍となるので
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} f(x) |\sin nx|dx=\dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x) dx$
が成立します．まずは証明も含めた解答．

[うまい解答]
区間 $I_k=\left[\dfrac{(k-1)\pi}{n}，\dfrac{k\pi}{n}\right]$ において
$(\min_{I_k} f(x))\cdot \displaystyle\int_{I_k} |\sin nx| dx$ $\leqq \displaystyle\int_{I_k} f(x)|\sin nx| dx$ $\leqq (\max_{I_k} f(x))\cdot \displaystyle\int_{I_k} |\sin nx| dx$
であるから，
$\displaystyle\int_{I_k} f(x) |\sin nx| dx$ $=f(c_k)\displaystyle\int_{I_k} |\sin nx| dx$ $=f(c_k)\cdot\dfrac{2}{n\pi}$
をみたす $c_k\in I_k$ が存在する．

よって
$\displaystyle\int_0^{\pi} f(x) |\sin nx|dx$ $=\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^n f(c_k)$
となり，区分求積法から
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} f(x) |\sin nx|dx$ $=\dfrac{2}{\pi}\cdot\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^n f(c_k)$ $=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} f(x) dx$
が成立する．

よって求める極限は
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} x^2 |\sin nx|dx=\dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x^2 dx=\dfrac{2\pi^2}{3}$
となる．

次にはさみうちの原理を用いた普通の解法．

[解答]
$nx=t$ と置換すると
$\displaystyle\int_0^{\pi} x^2 |\sin nx|dx$ $=\dfrac{1}{n^3} \displaystyle\int_0^{n\pi} t^2 |\sin t|dx$
ここで
$I_k=\displaystyle\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} t^2 |\sin t|dx$ $=\left|\displaystyle\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} t^2 \sin tdx\right|$
であり，
$\displaystyle\int t^2\sin t dt = -t^2\cos t + 2t\sin t +2\cos t+C$
であるから，
$I_k=\{k^2+(k-1)^2\}\pi^2-4$ $=(2k^2-2k+1)\pi^2-4$
となり，よって
$\displaystyle\int_0^{\pi} x^2 |\sin nx|dx$ $=\dfrac{1}{n^3} \displaystyle\sum_{k=1}^n I_k$
$=\dfrac{1}{n^3}\cdot \left\{\left(\dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{6}-n(n+1)+n\right)\pi^2-4n\right\}$
となり，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} x^2 |\sin nx|dx=\dfrac{2\pi^2}{3}$
となる．

2023年(令和5年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1978年(昭和53年)静岡大学-数学[x] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
も参照のこと．

本問の話は例えば

詳解微積分演習 I (大学課程数学演習シリーズ 2)

共立出版

Amazon

の p.321 にある．ちなみに絶対値がなければ
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi} f(x) \sin nxdx=0$
となる（正弦波の正負が打ち消しあう，つまり $y=\sin nx$ の1周期部分の積分は $y=1$ の同じ区間における積分の $0$ 倍となるので）．