1990年(平成2年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.04記

[1] $a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}$ ， $b_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}$ とするとき， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ ， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}$ を求めよ．

[2] 3次関数 $h(x)=px^3+qx^2+rx+s$ は，次の条件(i)，(ii)をみたすものとする．

(i) $h(1)=1$ ， $h(-1)=-1$ ．

(ii) 区間 $-1\lt x\lt 1$ で極大値 $1$ ，極小値 $-1$ をとる．

このとき，

(1) $h(x)$ を求めよ．

(2) 3次関数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ が区間 $-1\lt x\lt 1$ で $-1\lt f(x)\lt 1$ をみたすとき， $|x|>1$ なる任意の実数 $x$ に対して不等式 $|f(x)|\lt |h(x)|$ が成立することを証明せよ．

[3] $V$ を一辺の長さが $1$ の正 $8$ 面体，すなわち $xyz$ 空間において $|x|+|y|+|z|\leqq\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ をみたす点 $(x,y,z)$ の集合と合同な立体とする．

(1) $V$ の一つの面と平行な平面で $V$ を切ったときの切り口の周の長さは一定であることを示せ．

(2) 一辺の長さが1の正方形の穴があいた平面がある． $V$ をこの平面にふれることなく穴を通過させることができるか．結論と理由を述べよ．

[4] 行列 $M=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{1+a^2} & -\dfrac{a}{1+a^2} \\ \dfrac{a}{1+a^2} & \dfrac{1}{1+a^2} \end{pmatrix}$ に対し，点列 $\mbox{P}_n=(x_n,y_n)$ （ $n=0$ ， $1$ ， $2$ ，…）を次のように定める：

$\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}=M\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}$ ，…， $\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}=M\begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{pmatrix}$ ，…

(1) $a$ が正の実数を動くとき， $\triangle\mbox{P}_0\mbox{P}_1\mbox{P}_2$ の面積を
最大にする $a$ の値を求めよ．

(2) $a$ を(1)で求めた値とする． $\triangle\mbox{P}_0\mbox{P}_1\mbox{P}_2$ ， $\triangle\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ ，…， $\triangle\mbox{P}_n\mbox{P}_{n+1}\mbox{P}_{n+2}$ の和集合として表される図形の面積を $S_n$ とするとき， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$ を求めよ．

[5] 円 $x^2+y^2=1$ を $C_0$ ，だ円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $a\gt 0$ ， $b\gt 0$ ）を $C_1$ とする． $C_1$ 上のどんな点 $\mbox{P}$ に対しても， $\mbox{P}$ を頂点にもち $C_0$ に外接して $C_1$ に内接する平行四辺形が存在するための必要十分条件を $a$ ， $b$ で表せ．

[6] 一つのサイコロを続けて投げて，最初の $n$ 回に出た目の数をその順序のまま小数点以下に並べてできる実数を $a_n$ とおく．たとえば，出た目の数が $5$ ， $2$ ， $6$ ，… であれば， $a_1=0.5$ ， $a_2=0.52$ ， $a_3=0.526$ ，… である．実数 $\alpha$ に対して $a_n\leqq\alpha$ となる確率を $p_n(\alpha)$ とおく．