2007年(平成19年)京都大学-数学乙[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.18記

[6] すべての実数で定義され何回でも微分できる関数 $f(x)$ が $f(0)=0$ ， $f'(0)=1$ を満たし，さらに任意の実数 $a，b$ に対して $1+f(a)f(b)\neq 0$ であって
$f(a+b)=\dfrac{f(a)+f(b)}{1+f(a)f(b)}$ を満たしている．

(1) 任意の実数 $a$ に対して， $-1\lt f(a)\lt 1$ であることを証明せよ．

(2)　 $y=f(x)$ のグラフは $x\lt 0$ で上に凸であることを証明せよ．

本問のテーマ

双曲正接関数の加法定理

2020.09.18記

双曲正接関数の加法定理

$\tanh (a+b)=\dfrac{\tanh a + \tanh b}{1+\tanh a\tanh b}$ と比べれば $f(x)=\tanh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ であることがわかり，題意は明らかになる．

ニューラルネットワークで用いられる活性化関数の sigmoid は $\dfrac{\tanh (ax/2)+1}{2}$ と双曲正接関数を使って表現できる．

[大人の解答]
関数方程式を解く．

$f(x+b)=\dfrac{f(x)+f(b)}{1+f(x)f(b)}$ を $x$ で微分すると
$f'(x+b)=\dfrac{f'(x)\{1+f(x)f(b)\}-\{f(x)+f(b)\}f'(x)f(b)}{\{1+f(x)f(b)\}^2}$ $=\dfrac{f'(x)[1-\{f(b)\}^2]}{\{1+f(x)f(b)\}^2}$
$x=0$ を代入すると $f'(b)=1-\{f(b)\}^2$ が任意の実数 $b$ について成立するので，この微分方程式
$\dfrac{df}{1-f^2}=dx$
を解くと
$\dfrac{1}{2}\log\Bigl|\dfrac{f+1}{f-1}\Bigr|=x+C$
となり
$f(x)=\dfrac{\pm e^{2C} e^{2x}-1}{\pm e^{2C}e^{2x}+1}$ （複号同順）
となり， $f(0)=0$ から
$f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\tanh x$
となる．このとき， $f'(x)=\dfrac{1}{\cosh^2 x}$ より $f'(0)=1$ をみたしており，
$\tanh x$ の加法定理 $\tanh (a+b)=\dfrac{\tanh a + \tanh b}{1+\tanh a\tanh b}$ において、 $\tanh(a+b)$ は任意の実数 $a，b$ に対して有限の値になるので $1+f(a)f(b)\neq 0$ が成立し，問題文の全ての条件を満たしている．