1888年(明治21年)帝國大學工科大學-數學 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.05.28記
東大工学部の前身，明治21年9月実施

[1] Find the weight of a round wrought iron bar 4 inches in dameter and 15 feet long. One cubic inch of wrought iron weights .28 lb.

[2] Solve the simultaneous equations:
$2x+y=9$ ， $x^2+y^2=29$ .

[3] Write down the values of $\sin 120^{\circ}$ ， $\cos 120^{\circ}$ ， $\tan 225^{\circ}$ ， $\tan (-45^{\circ})$ .

[4] Solve the triangle with the given parts
$A=100^{\circ}$ ， $B=25^{\circ}$ ， $b=20\mbox{ft}$ .

[5] Calculate by logarithms the value of
$\left(\dfrac{123\times 45.6}{7.89}\right)^{\frac{1}{5}}$

[6] Sketch the loci represented by the following equations:
(a) $5y=7x-3$
(b) $r\cos(\theta-\alpha)=p$
(c) $x^2+y^2=c^2$
(d) $y^2=4ax$

[7] Find the differential coefficients of $a+bx^2+cx^5$ ， $e^x$ ， $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{4}\right)$ ， $\dfrac{a^2+x^2}{a^3+x^3}$

[1] 直径4インチ，長さ15フィートの円柱状の錬鉄製の棒の重量を求めよ．但し1立方インチの錬鉄の重さは0.28ポンドとする．

[2] 連立方程式を解け．
$2x+y=9$ ， $x^2+y^2=29$ .

[3] 以下の値を求めよ．
$\sin 120^{\circ}$ ， $\cos 120^{\circ}$ ， $\tan 225^{\circ}$ ， $\tan (-45^{\circ})$ .

[4] 以下の条件をみたす三角形を解け．
$A=100^{\circ}$ ， $B=25^{\circ}$ ， $b=20\mbox{ft}$ .

[5] 対数(表)を用いて以下を計算せよ．
$\left(\dfrac{123\times 45.6}{7.89}\right)^{\frac{1}{5}}$

[6] 以下の方程式で表される軌跡を描け．
(a) $5y=7x-3$
(b) $r\cos(\theta-\alpha)=p$
(c) $x^2+y^2=c^2$
(d) $y^2=4ax$

[7] 以下の微分係数を求めよ．
$a+bx^2+cx^5$ ， $e^x$ ， $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{4}\right)$ ， $\dfrac{a^2+x^2}{a^3+x^3}$

誤植と思われるものはなるべく直しておいた．

[解答]
[1] 1フィートは12インチだから，
$2\times 2\times 3.14\times 15\times 12\times 0.28=633.024$ ポンド
（当時、円周率を3.14としていたか不明）

[2] $y$ を消去して $5x^2-36x-52=(x-2)(5x-26)=0$ から $(x,y)=(2,5)$ ， $\left(\dfrac{26}{5},-\dfrac{7}{5}\right)$

[3] $\sin 120^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\cos 120^{\circ}=-\dfrac{1}{2}$ ， $\tan 225^{\circ}=1$ ， $\tan (-45^{\circ})=-1$ .

[4] $C=55^{\circ}$ であり， $a=\dfrac{20\sin 100^{\circ}}{\sin 25^{\circ}}\mbox{ft}$ ， $c=\dfrac{55\sin 100^{\circ}}{\sin 25^{\circ}}\mbox{ft}$ ，

[5] 常用対数をとると
$\dfrac{1}{5}\log_{10}\dfrac{123\times 45.6}{7.89}$
$≒\dfrac{1}{5}\log_{10} 711$
$≒\dfrac{1}{5}(2+\log_{10} 7.11)$
である．常用対数表から $\log_{10} 7.11=0.8519$ であるから求める値(の近似値)は
$\dfrac{2.8519}{5}=0.57038≒0.570$
（有効数字3桁で対数を計算したので有効数字3桁で答えておく．線形補間で $\log_{10} 7.109=0.85184$ を求めて $0.570368≒0.5704$ と4桁の精度にしても良い．正確には $0.5703585\cdots$ となる）

[6] (a) $\left(0,-\dfrac{3}{5}\right)$ ， $\left(\dfrac{3}{7},0\right)$ を通る直線
(b) ${\rm A}(p,\alpha)$ を通り $\rm OA$ に垂直な直線
(c) $c\neq0$ のとき，原点中心半径 $c$ の円， $c=0$ のとき原点
(d) 焦点 $(p,0)$ ，準線 $x=-p$ の放物線

[7] 順に $2bx+5cx^4$ ， $e^x$ ， $\dfrac{1}{4}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{4}\right)$ ， $\dfrac{x^4+3a^2x^2-2a^3x}{(a^3+x^3)^2}$

原文は

[1] Find the weight of a round wrought iron bar 4 inehes in dameter and 15 feet long. One cubic inch of wrought iron weights .28 lb.

[2] Solve the simultaneous equations:
$2x+y=9$ ， $x^2+y^2=29$ .

[3] Writle dawn she values of $\sin 120^{\circ}$ ， $\cos 120^{\circ}$ ， $\tan 225^{\circ}$ ， $\tan (-45^{\circ})$ .

[4] Solve the triangle with the given parts
$A=100^{\circ}$ ， $B=25^{\circ}$ ， $b=20\mbox{ft}$ .

[5] Calculate by logarithms the value of
$\left(\dfrac{123\times 45.6}{7.89}\right)^{\frac{1}{5}}$

[6] Sketch the loci represented by the following eqnations:
(a) $5y=7x-3$
(b) $r\cos(\theta-\alpha)=p$
(c) $x^2+y^2=c^2$
(d) $y^2=4ax$

[7] Find the drfferential coefficents of $a+bx^2+cx^5$ ， $e^5$ ， $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{n}{4}\right)$ ， $\dfrac{a^2+x^2}{a^3+x^3}$

であり，結構ミスが多い．