1989年(昭和64年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[4] $\dfrac{10^{210}}{10^{10}+3}$ の整数部分のけた数と，1の位の数字を求めよ．ただし， $3^{21}=10460353203$ を用いてよい．

2021.01.23記
$3^{21}$ をどう捻り出すかがポイント．
Putnam に類題があるのも有名．

[解答]
$10^{199}=\dfrac{10^{210}}{10^{11}} \lt \dfrac{10^{210}}{10^{10}+3}\lt \dfrac{10^{210}}{10^{10}}=10^{210}$ より整数部分は 200桁．

$x^{21}+y^{21}=(x+y)\{(x^{19}+\cdots -(-1)^{19}y^{19})x+y^{20}$ で $x=10^{10},y=3$ とおくことにより,
$\dfrac{10^{210}}{10^{10}+3}=(10^{190}+\cdots (-1)^{19}\cdot 3^{19})\cdot 10^{10}+3^{20}-\dfrac{3^{21}}{10^{10}+3}$
が成立する．
$3^{21}=10460353203$ によ $10^{10}+3\lt 3^{21} \lt 2(10^{10}+3)$ だから
$\dfrac{10^{210}}{10^{10}+3}$ の1の位の数字は $3^{20}-2=(81)^5-2$ の1の位の数字 $9$ に等しい．　

2021.06.10記

懐しい資料が見つかった

$3^{21}$ を数値として与えたために，
$\dfrac{10^{210}+3^{21}}{10^{10}+3}$
が整数であることを利用するのが上手な解答となった．等比級数に着目すれば，必要なのは $3^{21}$ と $10^{10}$ の大小関係．来年度以降の東大受験生にとっては考える練習として適当か．その意味で，東大から全受験生へのプレゼント．

2021.11.15記
Putnam の問題は、1986年の A-2 で

What is the units (i.e.. rightmost) digit of $\lfloor \dfrac{10^{20000}}{10^{100}+3}\rfloor$ ?

(本によって文章は違う)
である．