1910年(明治43年)東京帝國大學工科大學-數學[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[4] The radius of the base of a right cone is $5$ inches and the altitude of the cone is $5\sqrt{2}$ inches. Find the greatest parabolic section of the cone in square inches.

2019.03.05記

[4]底面の半径が $5$ インチ、高さが $5\sqrt{2}$ インチの直円錐がある。放物線の切り口の面積が最大となるものを求めよ。

[解答]
直円錐の底面を $x^2+y^2=25$ とし、頂点を $(0,0,5\sqrt{2})$ とする。母線に平行な平面を $z=\sqrt{2}(x-5\cos\theta)$ ( $0<\theta<\pi$ )とする。
このとき断面の放物線の高さは、相似を利用して $5\sqrt{3}\cdot\dfrac{5(1-\cos\theta)}{10}=\dfrac{5\sqrt{3}(1-\cos\theta)}{2}$ である。
よって断面積 $f(\theta)$ は放物線の面積が長方形の $\dfrac{2}{3}$ であることを利用すると $f(\theta)=\dfrac{2}{3}\cdot 10\sin\theta\cdot\dfrac{5\sqrt{3}(1-\cos\theta)}{2}=\dfrac{50\sqrt{3}}{3}\sin\theta(1-\cos\theta)$
となる。

$\dfrac{\sqrt{3}}{50}f'(\theta)$ $=\cos\theta-\cos^2\theta+\sin^2\theta$ $=-2\cos^2\theta+\cos\theta+1$ $=(2\cos\theta+1)(-\cos\theta+1)$
であり、 $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ の前後で正から負に変わるので極大かつ最大となる。
よって最大値は $\dfrac{75}{2}$ 平方吋をとる。