2023.08.22記
[5] とし,正 角錐(すい)の表面を,底面に含まれない個の辺で切り開いて得られる展開図を考える.正 角錐の頂点は,展開図においては,異なる 個の点になっている.ここでは,これら 個の点を通る円の半径が であるような,正 角錐のみを考えることにする.
(1) 各 に対して,このような正 角錐の体積の最大値 を求めよ.
(2) を求めよ.
注:図は, の場合の,正 角錐とその展開図の例である.
2020.11.25記
[解答]
展開図の外接円の中心は底面の外接円の中心と一致し,この中心から底面の5角形の各辺への距離を とすると,錐の高さはである.
展開図の外接円の中心は底面の外接円の中心と一致し,この中心から底面の5角形の各辺への距離を とすると,錐の高さはである.
底面積は だから体積は となる.
この最大値は相加相乗などから のとき最大値 となる.
そしてこの極限は である.