[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1958年(昭和33年)東京大学-数学(幾何)[3]

2020.10.25記

[3] ある直円錐とそれに内接する球の体積の比が $2 :1$ であるとき，この直円錐の底面の半径と高さとの比を求めよ．

2022.02.18記
高さと母線の長さのどちらを主役にするか迷うので，とりあえずWキャストで進めて都合の良い方を残すようにすれば良い．

[解答]
直円錐の底面の半径を $R$ ，高さを $H$ ，母線の長さを $L$ とすると，軸を通る断面の3角形の内接円の半径 $r$ は $(2L+2R)r=2RH$ ，つまり $r=\dfrac{RH}{L+R}$ をみたす．

題意より， $\pi R^2 H = 2\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3$ であるから　 $\dfrac{1}{3} \pi R^2 H = 2\cdot \dfrac{4}{3}\pi \dfrac{R^3H^3}{(L+R)^3}$ となり， $(L+R)^3 = 8 RH^2=8R(L^2-R^2)$ となる．

$L+R\neq 0$ に注意して整理すると $(L+R)^2 = 8R(L-R)$ から $(L-3R)^2 = 0$ となり， $L=3R$ である．

よって， $H=2\sqrt{2}R$ となるので,半径と高さの比は $1:2\sqrt{2}$ である．