1961年(昭和36年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.28記

[1] 点 $\rm O$ で $60^{\circ}$ の角をなす半直線 $\rm OX$ ， $\rm OY$ と $\rm ∠XOY$ の二等分線 $\rm OZ$ があり， $\rm OX$ ， $\rm OY$ 上に $\rm O$ から1 cm の距離にそれぞれ点 $\rm A$ ， $\rm B$ がある．いま動点 $\rm P$ ， $\rm Q$ ， $\rm R$ がそれぞれ $\rm A$ ， $\rm O$ ， $\rm B$ から同時に出発して半直線 $\rm OX$ ， $\rm OZ$ ， $\rm OY$ 上をそれぞれ毎秒 $1\,\mbox{cm}$ ， $\rm \sqrt{3} \,\mbox{cm}$ ， $2\,\mbox{cm}$ の速さで $\rm O$ から遠ざかる．
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(i) 3 点 $\rm P，Q，R$ が一直線上にくるまでの時間
および
(ii) $\rm \triangle PQR$ の面積が $\rm \triangle AOB$ の面積に等しくなるまでの時間を求めよ．

[2] $x$ の4次式 $f(x)$ において
$f(-0.2)=2.226$ ， $f(-0.1)=2.460$ ， $f(0)=2.718$ ， $f(0.1)=3,005$ ， $f(0.2)=3.320$
であるとき， $f'(0)$ を求めよ．

[3] あたえられた半径 $a$ の半球に外接する直円錐をつくり，その全表面積（側面積と底面積の和）をもっとも小さくするには，その高さをなにほどにすればよいか，ただし直円錐の底面は半球の底面とおなじ平面上にあるものとする．

[4] $\rm \triangle ABC$ の3 辺 $\rm BC$ ， $\rm CA$ ， $\rm AB$ の上にそれぞれ点 $\rm L$ ， $\rm M$ ， $\rm N$ をとり $\dfrac{\rm BL}{\rm LC}=\dfrac{\rm CM}{\rm MA}=\dfrac{\rm AN}{\rm NB}=\dfrac{1}{2}$ となるようにする． $\rm AL$ と $\rm CN$ の交点を $\rm P$ ， $\rm AL$ と $\rm BM$ の交点を $\rm Q$ ， $\rm BM$ と $\rm CN$ の交点を $\rm R$ とするとき， $\rm \triangle PQR$ の面積と $\rm \triangle ABC$ の面積との比を求めよ．
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[5] $t$ がすべての実数の範囲をうごくとき $x=t^2+1$ ， $y =t^2+t−2$ を座標とする点 $(x，y)$ は一つの曲線をえがく．この曲線と $x$ 軸とによってかこまれる部分の面積を求めよ．

[6] $a$ ， $b$ ， $c$ は定数であって，函数 $f(x)=a \sin x+b \cos x+c \sin 2 x$ は $x=\dfrac{\pi}{4}$ において極大値 $6\sqrt{2}$ をとり，また $\displaystyle\int_0^{2\pi} f(x)\cos x dx=5π$ である．このとき