[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1922-01-08

1922年(大正11年)東京帝國大學工學部-數學[3]

[3] 次ノ凾數ノ積分ヲ求ム．
A． $a^x x^2$
B． $\dfrac{\sqrt{x}}{x-b}$

2022.08.09記

[解答]
A. 部分積分を2回実行して $\dfrac{x^2(\log a)^2-2x\log a +2}{(\log a)^3}+(積分定数)$

B． $\sqrt{x}=t$ と置換すると
$\displaystyle\int\dfrac{x}{x-b}\,dx=2\int dt +2b \int\dfrac{dt}{t^2-b}$
となるので，

(i) $b\gt 0$ のとき $2\sqrt{x}+\sqrt{b}\log\left|\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{b}}{\sqrt{x}+\sqrt{b}}\right|+(積分定数)$
(ii) $b=0$ のとき $2\sqrt{x}+(積分定数)$
(iii) $b\lt 0$ のとき $2\sqrt{x}-2\sqrt{-b}\mbox{Arctan}\,\sqrt{\dfrac{x}{-b}}+(積分定数)$