[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2022-06-06

1946年(昭和21年)東京帝國大學第二工學部-數學[3]

2022.06.02記

[3](a) $z=f(x,y)$ が積 $xy$ のみの凾數なるための，必要條件を求めよ．

(b) 直角座標に於ける曲線 $x^3+xy^4+\sin y=0$ が，軸を切る點に於ける勾配（方向係數）を求めよ．

2022.06.06記

[解答]
(a) $xy=t$ とおき， $f(x,y)=g(t)$ とおくと
$\dfrac{\partial f}{\partial x}=g'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}=g'(t)y$ ，
$\dfrac{\partial f}{\partial y}=g'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}=g'(t)x$
が成り立つ必要があるので
$x\dfrac{\partial f}{\partial x}=y\dfrac{\partial f}{\partial y}$
が求める条件。

(b) $3x^2 dx+y^4dx+4xy^3 dy +\cos y dy=0$ から $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3x^2+y^4}{4xy^3+\cos y}$ である．