[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1923-01-10

1923年(大正12年)東京帝國大學工學部-數學[4]

[4] 次ノ値ヲ求ム．但シ $n$ ハ正ノ整數ナリトス．
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin n(\pi-x)dx$

2022.08.18記

[解答]
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin n(\pi-x)dx$
$=\Bigl[ x\dfrac{\cos n(\pi-x)}{n}+\dfrac{\sin n(\pi-x)}{n^2}\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$=\dfrac{1}{2n^2}\left(n\pi \cos\dfrac{n\pi}{2}+2\sin\dfrac{n\pi}{2}\right)$

■ $n=4k$ の場合 $=\dfrac{\pi}{2n}$ ，
$n=4k+1$ の場合 $=\dfrac{1}{n^2}$ ，
$n=4k+2$ の場合 $=-\dfrac{\pi}{2n}$ ，
$n=4k+3$ の場合 $=-\dfrac{1}{n^2}$
となる．