1938年(昭和13年)東京帝國大學理學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.24記

[2] 中心 ${\rm O}$ ナル定圓外ニ定點 ${\rm P}$ アリ．今ソノ圓周上ニ二點 ${\rm A}$ ， ${\rm B}$ ヲトリ直線 ${\rm OP}$ ヨリ同シ向キニ計リテ $\angle{\rm POB}=2\angle{\rm POA}$ ナラシムルトキ， ${\rm PA}^2\cdot {\rm PB}$ ガ極大又ハ極小トナル如キ ${\rm A}$ ， ${\rm B}$ ノ位置ヲ求ム．

2022.07.30記

[解答]
円を単位円として良い．
${\rm P}(p,0)$ （ $p\gt 1$ ）， ${\rm A}(\cos\theta,\sin\theta)$ ， ${\rm B}(\cos2\theta,\sin2\theta)$ （ $0\leqq\theta\lt 2\pi$ ）とおくと，
${\rm PA}=\sqrt{(p-\cos\theta)^2+\sin^2\theta}$ $=\sqrt{p^2+1-2p\cos\theta}$ ，
${\rm PB}=\sqrt{(p-\cos2\theta)^2+\sin^2 2\theta}$ $=\sqrt{p^2+1-2p\cos 2\theta}$
の根号内は常に正であるから， ${\rm PA}^2\cdot {\rm PB}\gt 0$ を二乗した
$f(\theta):={\rm PA}^4\cdot{\rm PB}^2$
の極大極小を考えて良い．このとき
$f(\theta):={\rm PA}^4\cdot{\rm PB}^2$
$=(p^2+1-2p\cos\theta)^2(p^2+1-2p\cos 2\theta)$
であるから，
$f'(\theta)$ $=2(p^2+1-2p\cos\theta)\cdot 2p\sin\theta\cdot (p^2+1-2p\cos 2\theta)$ $+(p^2+1-2p\cos\theta)^2\cdot 4p\sin 2\theta$
$=4p\sin\theta(p^2+1-2p\cos\theta)$ $\{(p^2+1-2p\cos 2\theta)+2(p^2+1-2p\cos\theta)\cos\theta\}$
$=-4p\sin\theta(p^2+1-2p\cos\theta)$ $\{8p\cos^2\theta-2(p^2+1)\cos\theta-(p+1)^2\}$
$=-4p\sin\theta(p^2+1-2p\cos\theta)$ $(2\cos\theta+1)\{4p\cos\theta-(p+1)^2\}$
$=4p^2\sin\theta(p^2+1-2p\cos\theta)$ $(2\cos\theta+1)$ $\left\{\left(\sqrt{p}+\dfrac{1}{\sqrt{p}}\right)^2-4\cos\theta\right\}$
となるが，
$p^2+1-2p\cos\theta = {\rm PA}^2 \gt 0$ ， $\sqrt{p}+\dfrac{1}{\sqrt{p}}\gt 2$ (∵ $p\gt 1$ )
であるから，
$f'(\theta)$ の符号と $=\sin\theta$ $(2\cos\theta+1)$ は一致し，増減表は

$\theta$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$\dfrac{4\pi}{3}$	$\cdots$	$(2\pi)$
$f'(\theta)$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$(0)$
$f(\theta)$		$\nearrow$		$\searrow$		$\nearrow$		$\searrow$