1931年(昭和6年)東京帝國大學工學部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.08.08記

[3] $\displaystyle\int_1^2 \sqrt{(x-a)(b-x)}dx$ を求む．

2022.08.10記

[解答]
$a\leqq b$ として一般性を失わない．

(i) $1\lt a$ または $b\lt 2$ のとき， $1$ または $2$ が関数の定義域外となるので，定積分は存在しない．

(ii) $a\leqq 1$ かつ $2\leqq b$ のとき，
$I=\displaystyle\int_1^2 \sqrt{(x-a)(b-x)}dx$
において $z=x-\dfrac{a+b}{2}$ とおき， $A=\dfrac{b-a}{2}(\gt 0)$ ， $p=\dfrac{2-a-b}{2}$ ， $q=\dfrac{4-a-b}{2}$ とおくと，
$I=\displaystyle\int_p^q \sqrt{A^2-z^2}dz$
$=\Bigl[\dfrac{1}{2}z\sqrt{A^2-z^2}+\dfrac{A^2}{2}\mbox{Arcsin}\,\dfrac{z}{A}\Bigr]_p^q$
$=\dfrac{1}{2}q\sqrt{A^2-q^2}-\dfrac{1}{2}p\sqrt{A^2-p^2}$ $+\dfrac{A^2}{2}\left(\mbox{Arcsin}\,\dfrac{q}{A}-\mbox{Arcsin}\,\dfrac{p}{A}\right)$
$=\dfrac{4-a-b}{4}\sqrt{(2-a)(b-2)}-\dfrac{2-a-b}{4}\sqrt{(1-a)(b-1)}$ $+\dfrac{(b-a)^2}{8}\left(\mbox{Arcsin}\,\dfrac{4-a-b}{b-a}-\mbox{Arcsin}\,\dfrac{2-a-b}{b-a}\right)$

2022.09.07記
実質同じことになるが，ちょっとだけ幾何的に．

[別解]
$a\leqq b$ として一般性を失わない．

(i) $1\lt a$ または $b\lt 2$ のとき， $1$ または $2$ が関数の定義域外となるので，定積分は存在しない．

(ii) $a\leqq 1$ かつ $2\leqq b$ のとき，
一般に，弓形の面積を扇形を三角形に分けることにより
$\displaystyle\int_d^r\sqrt{r^2-x^2}\,dx=\dfrac{1}{2}r^2{\rm Arccos}\dfrac{d}{r}-\dfrac{1}{2}d\sqrt{r^2-d^2}$
となることから，円の中心を原点に平行移動することにより
$r=\dfrac{b-a}{2}$ ， $d_1=1-\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{2-a-b}{2}$ ， $d_2=2-\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{4-a-b}{2}$
を用いて
$\displaystyle\int_1^2 \sqrt{(x-a)(b-x)}dx$
$=\displaystyle\int_{d_1}^{d_2}\sqrt{r^2-x^2}\,dx$
$=\displaystyle\int_{d_1}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx$ $-\displaystyle\int_{d_2}^{d_r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx$
$=\dfrac{1}{2}r^2\left({\rm Arccos}\dfrac{d_1}{r}-{\rm Arccos}\dfrac{d_2}{r}\right)$
$-\dfrac{1}{2}(d_1\sqrt{r^2-d_1^2}-d_2\sqrt{r^2-d_2^2})$
$=\dfrac{(b-a)^2}{8}\left({\rm Arccos}\dfrac{2-a-b}{b-a}-{\rm Arccos}\dfrac{4-a-b}{b-a}\right)$ $-\dfrac{2-a-b}{4}\sqrt{(1-a)(b-1)}+\dfrac{4-a-b}{4}\sqrt{(2-a)(b-2)}$

一見，[解答]と[別解]でか結果が異なるように思えるが，
${\rm Arcsin}\,\theta+{\rm Arccos}\,\theta=\dfrac{\pi}{2}$
を利用すれば両者が一致することがわかる．