1943年(昭和18年)東京帝國大學醫學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] 半徑 $a$ ナル圓Cガ直線 g 上ヲ辷ルコトナク轉ガツテ動ク時，最初 g ト接スルCノ轉ガ再ビ g ト接スル迄ニ描ク曲線ヲ，g ヲ軸トシテ一回轉シテ得ル曲面ニテ圍マレル部分ノ體積ヲ求メヨ。

2020.03.30記
サイクロイドについて、曲線の長さ $8a$ 、直線と囲まれる面積 $3\pi a^2$ 、直線のまわりに回転してできる立体の体積 $5\pi^2 a^3$

g を $x$ 軸とし、最初の接点を $(0,\,0)$ 、次の接点を $(2\pi a,\,0)$ とすると $x=a(\theta-\sin\theta)$ 、 $y=a(1-\cos\theta)$ となるので、求める体積 $V$ は
$\displaystyle V=\int_0^{2\pi a} \pi y^2 dx =\pi a^3 \int_0^{2\pi} (1-\cos\theta)^3 \,d\theta$ $\displaystyle =\pi a^3 \int_0^{2\pi} (1-3\cos\theta+3\cos^2\theta+\cos^3\theta)\, d\theta$

ここで、
$\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta=\int_0^{2\pi} \cos^3\theta \, d\theta=0$
であり、
$\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \, d\theta=\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi} (\cos^2\theta+\sin^2\theta) \, d\theta=\pi$
だから、
$V=\pi a^3 (2\pi +0+3\pi+0)=5\pi^2 a^3$

ついでに面積は
$\displaystyle S=\int_0^{2\pi a} y dx =a^2 \int_0^{2\pi} (1-\cos\theta)\, d\theta$ $\displaystyle a^2 \int_0^{2\pi} (1-2\cos\theta+\cos^2\theta)\,d\theta=a^2(2\pi+\pi)=3\pi a^2$

曲線の長さは
$\displaystyle L=\int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$ $\displaystyle =a\int_0^{2\pi} \sqrt{2-2\cos\theta}\,d\theta$ $\displaystyle =2a\int_0^{2\pi} \sin\dfrac{\theta}{2}\,d\theta$ $\displaystyle =4a\int_0^{\pi} \sin\phi\,d\phi$ （ $\phi=\dfrac{\theta}{2}$ とおく）
$=4a\cdot 2=8a$