1948年(昭和23年)東京大学医学部医学科-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.04.03記

[2] 次の級數の収斂域ヲ求ム．
$x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots$

本問のテーマ

メルカトル級数(交代調和級数)

2020.04.03記
$\log(1+x)$ のマクローリン展開の収束する範囲を求める。

[解答]
$a_n=(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}$ とおくと， $\sum a_n x^n$ が収束するような $x$ の範囲を求めればよい．

ダランベールの収束判定法を用いると $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ なので収束半径は $1$ となるので $-1\lt x\lt 1$ において収束する．

そこで $x=\pm 1$ における収束を考える。

$x=-1$ のとき $-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots )$ は負の無限大に発散するので収束しない。

$x=1$ のとき、メルカトル級数(交代調和級数) $1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots$ は，
$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{n+k}$ （通常は帰納法で証明）
$\displaystyle =\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{1+\dfrac{k}{n}}\to \int_0^{1} \dfrac{1}{1+x} dx =\log 2$
により $\log 2$ に収束するので、求める収束域は $-1\lt x\leqq 1$ となる。

2022.07.20記

[解答]
(メルカトル級数)の部分

$x=1$ のとき，交代級数
$1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}a_n$ （ $a_n=\dfrac{1}{n}$ ）は，
$a_1\geqq a_2\geqq \cdots \geqq 0$ かつ $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=0$
をみたしているので収束する．

メルカトル級数については，2015年に山形大に出題されている．
2015年山形大学工学部-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR