[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1933年(昭和8年)東京帝國大學工學部-數學[1]

2022.08.10記

[1] 原點ヲ含ミ，次ノ二曲線ニヨリ境サルヽ部分ノ面積ヲ計算セヨ．
x^2+2y^2=2a^2，2(x^2-y^2)=a^2

2022.08.11記

[解答]
2曲線の交点の座標は \left(\pm a, \pm\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)(複号任意) であるから，求める面積は
S=4\displaystyle\int_0^a \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2a^2-x^2}\,dx-4\displaystyle\int_{a/\sqrt{2}}^{a}\sqrt{x^2-\dfrac{a^2}{2}}\,dx
=\sqrt{2}\Bigl[ x\sqrt{2a^2-x^2}+2a^2\mbox{Arcsin}\,\dfrac{x}{\sqrt{2}a}\Bigr]_0^a-2\Bigl[ x\sqrt{x^2-\dfrac{a^2}{2}}-\dfrac{a^2}{2}\log\left|x+\sqrt{x^2-\dfrac{a^2}{2}}\right|\Bigr]_{a/\sqrt{2}}^{a}
=\sqrt{2}\left( a\sqrt{a^2}+\dfrac{\pi a^2}{2}\right)-2\left( a\sqrt{\dfrac{a^2}{2}}-\dfrac{a^2}{2}\log\left| a+\sqrt{\dfrac{a^2}{2}} \right|\right)-a^2\log\left|\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right|
=\dfrac{\pi a^2}{\sqrt{2}}+a^2\log(1+\sqrt{2})