2022年(令和4年)京都大学-数学(文系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.05記

[3] $xy$ 平面上の2直線 $L_1, L_2$ は直交し，交点の $x$ 座標は $\dfrac{3}{2}$ であるまた， $L_1, L_2$ はともに曲線 $C:y=\dfrac{x^2}{4}$ に接している．このとき， $L_1, L_2$ および $C$ で囲まれる図形の面積を求めよ．

2022.03.05記
$\dfrac{1}{12}$ 公式を使えばすぐだけど丁寧に書いておく．

[解答]

$C$ と $L_1, L_2$ の接点の $x$ 座標を $p, q$ （ $p\lt q$ ）とすると，
$L_1, L_2$ はそれぞれ $y=\dfrac{p}{2}x-\dfrac{p^2}{4}$ ， $y=\dfrac{q}{2}x-\dfrac{q^2}{4}$ であるから，
交点の $x$ 座標は $\dfrac{p+q}{2}=\dfrac{3}{2}$ であり $L_1, L_2$ が直交することから， $\dfrac{pq}{4}=-1$ となる．

よって， $p+q=3$ ， $pq=-4$ となり， $p=-1,q=4$ となる．

よって求める面積は
$\displaystyle\int_{-1}^{3/2} \left(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{p}{2}x+\dfrac{p^2}{4}\right)dx$ $+\displaystyle\int_{3/2}^4 \left(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{q}{2}x+\dfrac{q^2}{4}\right)dx$
$=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{-1}^{3/2} (x+1)^2dx$ $+\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{3/2}^4 (x-4)^2dx$
$=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{5}{2}\right)^3$ $+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{5}{2}\right)^3$ $=\dfrac{125}{48}$
となる．