[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1956年(昭和31年)東京大学-数学(解析ＩＩ)[2]

2022.02.10記

[2] 平面上の直交軸に関して，座標がそれぞれ $(1，1)$ ， $(−1，1)$ である2 点を通る放物線
$y =ax^2+bx+c$ （ $a\lt 0$ ）
と $x$ 軸が囲む面積の最小値を求めよ．

2022.02.10記

[解答]
条件より $y=a(x^2-1)+1$ と書け，これと $x$ 軸との交点は $\pm\sqrt{\dfrac{a-1}{a}}$ により，囲む面積は $\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{(a-1)^3}{a}}$ となる．

ここで $A=\sqrt[3]{-a}$ ( $A\gt0$ )とおくと
$\dfrac{(a-1)^3}{a}=\left(A^2+\dfrac{1}{A}\right)^3$
である。

AM-GM 不等式より
$A^2+\dfrac{1}{A}=A^2+\dfrac{1}{2A}+\dfrac{1}{2A}\geqq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$
であるから，
$\dfrac{(a-1)^3}{a}\geqq\dfrac{27}{4}$
（等号成立は $A^2=\dfrac{1}{2A}$ より $A=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ ，つまり $a=-\dfrac{1}{2}$ ）
となるので，面積の最小値は
$\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{27}{4}}=2\sqrt{3}$
となる．