[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1933年(昭和8年)東京帝國大學理學部-數學[3]

2022.08.10記

[3] \displaystyle\int_0^{\infty}|\sin x|e^{-x}dx ヲ求ム．

2022.08.11記

[解答]
\displaystyle\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}|\sin x|e^{-x}dx
は x=(n-1)\pi+t と置換すると
=e^{-(n-1)\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin t|e^{-t}dt
=e^{-(n-1)\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{-t}\sin t dt
=e^{-(n-1)\pi}\Bigl[ \dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-t}\sin\left(t-\dfrac{3}{4}\pi\right)\Bigr]_0^{\pi}
=e^{-(n-1)\pi}\dfrac{e^{-\pi}+1}{2}
であるから，求める値は
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} e^{-(n-1)\pi}\dfrac{e^{-\pi}+1}{2}=\dfrac{e^{-\pi}+1}{2}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-\pi}}=\dfrac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})}