1987年(昭和62年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[3] $xyz$ 空間内の点 $\mbox{P}(0,0,1)$ を中心とする半径 $1$ の球面 $\mbox{K}$ がある．

$\mbox{K}$ 上の点 $\mbox{Q}(a,b,c)$ が条件 $a\gt 0$ ， $b\gt 0$ ， $c\gt 1$ のもとで $\mbox{K}$ 上を動くとき， $\mbox{Q}$ において $\mbox{K}$ に接する平面を $\mbox{L}$ とし， $\mbox{L}$ が $x$ 軸， $y$ 軸， $z$ 軸と交わる点をそれぞれ $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ とする．このような三角形 $\mbox{ABC}$ の面積の最小値を求めよ．

2021.01.20記

[解答]
$L$ の方程式は $L:ax+by+(c-1)(z-1)=1$ だから，
${\rm A}\Bigl(\dfrac{c}{a},0,0\Bigr)$ ， ${\rm B}\Bigl(0,\dfrac{c}{b},0\Bigr)$ ， ${\rm C}\Bigl(0,0,\dfrac{c}{c-1}\Bigr)$
となる．原点と $L$ の距離が $\dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2+(c-1)^2}}=c$ だから，
四面体の $\rm O-ABC$ の体積を利用すると
$\triangle{\rm ABC}=\dfrac{c^2}{2ab(c-1)}$ となる．

ここで $c$ が一定のとき $a^2+b^2=c(2-c)$ は一定であるから，
$ab\leqq \dfrac{a^2+b^2}{2}=\dfrac{c(2-c)}{2}$ （等号は $a=b$ ）となるので
$\triangle{\rm ABC}\geqq\dfrac{c}{(c-1)(2-c)}=:f(c)$ が成立する．

$\dfrac{1}{f(c)}=-c-\dfrac{2}{c}+3$ （ $1\lt c\lt 2$ ）は，
$c+\dfrac{2}{c}\geqq 2\sqrt{2}$ （等号 $c=\sqrt{2}$ ）により
$c=\sqrt{2}$ で最大値 $3-2\sqrt{2}$ をとるので
$\triangle{\rm ABC}$ は $c=\sqrt{2}$ ， $a=b=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{2}-2}{2}}$ で最小値 $3+2\sqrt{2}$ をとる．