1937年(昭和12年)東京帝國大學工學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.08.11記

[2] 次ノ積分ヲ計算セヨ．
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x\cos x\sin x}{(a^2\cos^2 x+b^2\sin^2 x)^2}dx$

2022.08.23記

[解答]
$a^2+b^2=0$ とすると積分は意味をもたないので， $a^2+b^2\neq 0$ とする．

$I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x\cos x\sin x}{(a^2\cos^2 x+b^2\sin^2 x)^2}dx$
$=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{2x\sin 2x}{(a^2 (\cos 2x+1)+b^2(1-\cos 2x))^2}dx$
$=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cdot \dfrac{2\sin 2x}{\{(a^2-b^2)\cos 2x+(a^2+b^2)\}^2}dx$
である．

(i) $a^2=b^2(\neq 0)$ のとき：
$I=\dfrac{1}{2a^4}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin 2x\, dx$
となる． $y=\sin 2x$ ( $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ ) の重心は $x=\dfrac{\pi}{4}$ ，面積は 1 だから
$I=\dfrac{1}{2a^4}\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{8a^4}$

(ii) $a^2\neq b^2$ ， $b=0$ のとき：
$I=\dfrac{1}{a^4}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x\sin x}{\cos^3 x}dx$ $=\dfrac{1}{a^4}\Bigl[ \dfrac{x}{2\cos^2 x} -\dfrac{1}{2}\tan x \Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}$ $=\dfrac{1}{a^4}\Bigl[ \dfrac{x-\sin x\cos x}{2\cos^2 x}\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}$ $=+\infty-0$
となり存在しない．

(iii) $a^2\neq b^2$ ， $a=0$ のとき：
$I=\dfrac{1}{b^4}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x\cos x}{\sin^3 x}dx$
$=\dfrac{1}{b^4}\Bigl[ -\dfrac{x}{2\sin^2 x} -\dfrac{1}{2}\cot x \Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}$ $=\dfrac{1}{b^4}\Bigl[ \dfrac{-x-\sin x\cos x}{2\sin^2 x}\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}$ $=-\dfrac{\pi}{4}-(-\infty)$
となり存在しない．

(iv) $a^2\neq b^2$ ， $ab\neq 0$ のとき：
$I=\dfrac{1}{(a^2-b^2)^2}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cdot \dfrac{-(\cos 2x)'}{\left\{\cos 2x+\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\right\}^2}dx$
$=\dfrac{1}{(a^2-b^2)^2}\left[ x\cdot \dfrac{1}{\cos 2x+\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$ $-\dfrac{1}{(a^2-b^2)^2}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\cos 2x+\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}}\,dx$
$=\dfrac{\pi}{4(a^2-b^2)b^2}$ $-\dfrac{1}{(a^2-b^2)^2}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\cos 2x+\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}}\,dx$
となる．ここで，
$t=\tan x$ とおくと
$J=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\cos 2x+\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}}\,dx$ $=\dfrac{a^2-b^2}{2b^2}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+\dfrac{a^2}{b^2}}\,dt$ $=\dfrac{a^2-b^2}{2b^2}\Bigl[\dfrac{|b|}{|a|}\mbox{Arctan}\,\dfrac{|b|x}{|a|}\Bigr]_0^{+\infty}$ $=\dfrac{(a^2-b^2)\pi}{4|ab|}$
であるから，
$I=\dfrac{\pi}{4(a^2-b^2)b^2}$ $-\dfrac{1}{(a^2-b^2)^2}\cdot \dfrac{(a^2-b^2)\pi}{4|ab|}$ $=\dfrac{\pi}{4(a^2+|ab|)b^2}$
となる（この結果で $a=b\neq 0$ とおくと(i)の結果に一致する）．

以上をまとめると， $a^2+b^2\neq 0$ のもとで，

$ab=0$ のとき，定積分は存在しない．
$ab\neq 0$ のとき， $\dfrac{\pi}{4(a^2+|ab|)b^2}$

となる．