1954年(昭和29年)東京大学-数学(一般数学)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1]半径に等しい長さの円弧に対する中心角を1弧度という．従って1弧度は $\dfrac{180}{\pi}$ 度である． $\pi=3.1415926…$ をなるべく少ない桁数で4捨5入して1弧度の近似値を計算しその誤差を30秒以下にしたい． $\pi$ の近似値を何とすればよいか．

2020.09.24記
$\pi$ の近似値を $p$ とすると，題意から $3\leqq p\leqq 3.15$ をみたす．

誤差を $\pi=p+\varepsilon$ とおくと,30秒は $\dfrac{1}{120}$ 度であるから，
$\Bigl|\dfrac{180}{\pi} -\dfrac{180}{p}\Bigr|\leqq\dfrac{1}{120}$
をみたす．整理して
$|\varepsilon| \leqq\dfrac{\pi p}{21600}$
となる． $3\lt \pi，p\lt \sqrt{10}$ をみたすので，
$|\varepsilon| \leqq\dfrac{10}{21600}=\dfrac{1}{2160}=0.000416\cdots$
をみたしていれば誤差は30秒より確実に小さくなり十分である．また，
$|\varepsilon| \geqq\dfrac{9}{21600}=\dfrac{1}{2400}=0.000462\cdots$
をみたしていれば誤差は30秒より確実に大きくなり不十分である．

$\pi$ の小数第3位を四捨五入すると、 $|\varepsilon|=0.0015926…$ より不十分
$\pi$ の小数第4位を四捨五入すると、 $|\varepsilon|=0.000407…$ より十分である．

以上から， $\pi$ の近似値を $3.142$ とすれば良い．

なお，問題分には答が一意に決まるように「なるべく少ない桁数で四捨五入」といあるが、河合出版の72年の解答は、「なるべく少ない桁数で四捨五入」という言葉を忘れており、「3.142またはそれより良い近似値をとれば良い」
という曖昧な解答になっている．

もう少し真面目に評価しようとすると
$|\varepsilon| \leqq\dfrac{\pi (\pi-\varepsilon)}{21600}$
から
$\varepsilon \gt 0$ のとき $\varepsilon \leqq\dfrac{\pi^2}{21600+\pi}$ であり，
$\varepsilon \lt 0$ のとき $|\varepsilon| \leqq\dfrac{\pi^2}{21600-\pi}$ であれば良い．

なお，平均値の定理から
$\Bigl|\dfrac{1}{\pi} -\dfrac{1}{p}\Bigl|=\dfrac{|\varepsilon|}{c^2}$
をみたす $c$ が $\pi$ と $p$ の間に存在するので，
$|\varepsilon| \leqq\dfrac{c^2}{21600}$
をみたせば良い、と同じ枠組みになる．