1952年(昭和28年)東京大学-数学(解析ＩＩ)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] $f(x)=x^3+x^2+x+1$ であるとき， $g(x)=ax^2+2bx+c$ の係数 $a,\,b,\,c$ をどのように定めれば
$f(1)=g(1),\,f(-1)=g(-1)$
である上に $\displaystyle \int_{-1}^1 \{f(x)-g(x)\}^2 dx$ が最小となるか．

2020.03.16記
ルジャンドル多項式

$P_0(x)=1,\,P_1(x)=x,\, P_2(x)=\dfrac{3x^2-1}{2}, \, P_3(x)=\dfrac{5x^3-3x}{2}$ とおくと、 $\displaystyle \int_{-1}^1 P_i(x)P_j(x)=\delta_{ij}$
となる。ここで $\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタ。

$f(x)=\dfrac{2}{5}P_3(x)+\dfrac{2}{3}P_2(x)+\dfrac{8}{5}P_1(x)+\dfrac{4}{3} P_0(x)$ である。
$g(x)=kP_2(x)+l P_1(x)+m P_0(x)$ とおくと、 $f(1)=g(1),\,f(-1)=g(-1)$ により、
$k+l+m= 4 , \, k-l+m= 0$ となり、 $l= 2,\, k+m= 2$ となる。

このとき、 $\displaystyle \int_{-1}^1 \{f(x)-g(x)\}^2 dx=\dfrac{4}{25}+\left(\dfrac{2}{3}-k\right)^2+\left(\dfrac{4}{3} -m\right)^2$ だから、 $k=\dfrac{2}{3},\,m=\dfrac{4}{3}$ のとき最小値 $\dfrac{4}{25}$ をとる。

よって、 $g(x)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3x^2-1}{2}+ 2\cdot x +\dfrac{4}{3} =x^2+2x+1$ となり $a=b=c=1$

普通にやると、

$f(1)=g(1),\, f(-1)=g(-1)$ により、 $a+c=2, \, b=1$ となるので、奇関数の積分が消えることに注意すると
$\displaystyle \int_{-1}^1 \{f(x)-g(x)\}^2 dx= \int_{-1}^1 [(x^3-x) - \{(a-1)x^2+(c-1)\}]^2 dx$
$\displaystyle =\int_{-1}^1(x^3-x)^2 dx+ 2\int_{0}^1 \{(a-1)x^2+(c-1)\}^2 dx$
となり，これは $a=c=1$ のときに最小となる。

よって， $a=b=c=1$ 。

元ネタのルジャンドル多項式を使うよりも普通に解いた方が早かった。