1938年(昭和13年)東京帝國大學工學部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.24記

[3] $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-|x|}\sin (x+a) dx$ を計算せよ．

2022.08.04記

$e^{ax}\sin bx$ の不定積分は，機械的には
$\mbox{Im} e^{(a+bi)x}$
と考えて，
$a+bi=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$
と極形式に直しておくと，
$\displaystyle\int e^{ax}\sin bx\, dx$ $=\displaystyle\int \mbox{Im} \left(e^{(a+bi)x}\right)\, dx$ $=\mbox{Im} \left(\displaystyle\int e^{(a+bi)x}\, dx\right)$ $=\mbox{Im} \left(\dfrac{a-bi}{a^2+b^2} e^{(a+bi)x}\right)$ $=\mbox{Im} \left(\dfrac{\cos\alpha-i\sin\alpha}{r} e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)\right)$ $=\dfrac{1}{r} e^{ax}\sin (bx-\alpha)$
のようになる．同様に
$\displaystyle\int e^{ax}\cos bx\, dx$ $=\dfrac{1}{r} e^{ax}\cos (bx-\alpha)$
も成立する．

これを用いると例えば
$\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-x}\sin (x+a) dx$
について， $-1+i=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)$
とおくと
$\displaystyle\int xe^{-x}\sin (x+a) dx$
$=x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-x}\sin\left(x+a-\dfrac{3\pi}{4}\right)$ $-\displaystyle\int_0^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-x}\sin\left(x+a-\dfrac{3\pi}{4}\right)\, dx$
$=x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-x}\sin\left(x+a-\dfrac{3\pi}{4}\right)$ $-\dfrac{1}{2}e^{-x}\sin\left(x+a-\dfrac{3\pi}{2}\right)+(積分定数)$
となる．

[解答]
$I_1=\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-|x|}\sin (x+a) dx$ $=\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-x}\sin (x+a) dx$ $=\left[x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-x}\sin\left(x+a-\dfrac{3\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{2}e^{-x}\sin\left(x+a-\dfrac{3\pi}{2}\right)\right]_0^{\infty}$ $=\dfrac{1}{2}\sin\left(a-\dfrac{3\pi}{2}\right)$ $=\dfrac{\cos a}{2}$
であり，
$I_2=\displaystyle\int_{-\infty}^{0} xe^{-|x|}\sin (x+a) dx$ $=\displaystyle\int_{-\infty}^{0} xe^{x}\sin (x+a) dx$ $=\left[x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{x}\sin\left(x+a-\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{2}e^{x}\sin\left(x+a-\dfrac{\pi}{2}\right)\right]_{-\infty}^{0}$ $=-\dfrac{1}{2}\sin\left(a-\dfrac{\pi}{2}\right)$ $=\dfrac{\cos a}{2}$
であるから，
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-|x|}\sin (x+a) dx$
$=I_1+I_2$ $=\cos a$

[別解]
$I_1=\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-|x|}\sin (x+a) dx$ $=\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-x}\sin (x+a) dx$ とおくと，
$|I_1|\leqq \displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-x} dx$ $=\Bigl[-e^{-x}(x+1)\Bigr]_0^{\infty}$ $=1$
であるから， $I_1$ は有限確定となる．
$I_2=\displaystyle\int_{-\infty}^{0} xe^{-|x|}\sin (x+a) dx$ $=\displaystyle\int_0^{\infty} ye^{-y}\sin (y-a) dx$ とおくと，
$|I_2|\leqq \displaystyle\int_0^{\infty} ye^{-y} dy$ $=\Bigl[-e^{-y}(y+1)\Bigr]_0^{\infty}$ $=1$
であるから， $I_2$ は有限確定となる．

よって
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-|x|}\sin (x+a) dx$
$=I_1+I_2$
$=\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-x}\{\sin (x+a)+\sin(x-a)\} dx$
$=2\cos a \displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-x}\sin x\, dx$
$=2\cos a \left[ x \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{-x}\sin\left(x-\dfrac{3}{4}\pi\right)-\dfrac{1}{2} e^{-x}\sin\left(x-\dfrac{3}{2}\pi\right)\right]_0^{\infty}$
$=2\cos a \left\{ 0-\dfrac{1}{2} \sin\left(-\dfrac{3}{2}\pi\right)\right\}$ $=\cos a$

部分積分でまず
$\displaystyle\int e^x \sin (x+a) \,dx=\dfrac{1}{2}e^x (\sin (x+a) - \cos (x+a))+(積分定数)$ と
$\displaystyle\int e^{-x} \sin (x+a) \,dx=-\dfrac{1}{2}e^{-x}(\sin (x+a)+\cos (x+a))+(積分定数)$
を求めれば，例えば
$\displaystyle\int xe^{-x}\sin (x+a) dx$
$= x\cdot \dfrac{-1}{2}e^{-x}(\sin (x+a)+\cos (x+a))$ $+\displaystyle\int \dfrac{1}{2}e^{-x}(\sin (x+a)+\cos (x+a))dx$
$=-\dfrac{1}{2}xe^{-x}(\sin (x+a)+\cos (x+a))$ $+\dfrac{1}{4}e^x (\sin (x+a) - \cos (x+a))$ $-\dfrac{1}{4}e^{-x}(\sin (x+a)+\cos (x+a))$
$=-\dfrac{1}{2}xe^{-x}(\sin (x+a)+\cos (x+a))$ $-\dfrac{1}{2}e^x \cos (x+a)$
$=-\dfrac{1}{2}e^{-x}\left\{x\sin(x+a)+(x+1)\cos(x+a)\right\}$
のように計算できる．

[別解2]
$I_1=\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-|x|}\sin (x+a) dx$ $=\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-x}\sin (x+a) dx$ $=\left[-\dfrac{1}{2}e^{-x}(x\sin(x+a)+(x+1)\cos(x+a))\right]_0^{\infty}$ $=\dfrac{\cos a}{2}$
であり，
$I_2=\displaystyle\int_{-\infty}^{0} xe^{-|x|}\sin (x+a) dx$ $=\displaystyle\int_{-\infty}^{0} xe^{x}\sin (x+a) dx$ $=\left[\dfrac{1}{2}e^{x}(x\sin(x+a)-(x-1)\cos(x+a))\right]_{-\infty}^{0}$ $=\dfrac{\cos a}{2}$
であるから，
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-|x|}\sin (x+a) dx$
$=I_1+I_2$ $=\cos a$

手短に書いたので，簡単のようにみえるが[別解2]の不定積分を普通に求めるのは結構大変である．[解答]のように
$\int e^{ax}\sin (bx+c)\, dx=\dfrac{1}{|a+bi|}e^{ax}\sin\Bigl(bx+c-\arg(a+bi)\Bigr)+(積分定数)$ ，
$\int e^{ax}\cos (bx+c)\, dx=\dfrac{1}{|a+bi|}e^{ax}\cos\Bigl(bx+c-\arg(a+bi)\Bigr)+(積分定数)$
を使うと楽である．