1939年(昭和14年)東京帝國大學農學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.24記

[1] $f(x)=\dfrac{x}{1+x\tan x}$ ノ極大極小ヲ求メヨ．

2022.08.07記

[解答]
$f'(x)=\dfrac{(\cos x+x)(\cos x-x)}{(\cos x+x\sin x)^2}$
より $\cos \alpha=\alpha$ （ $0\lt \alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$ ）なる $\alpha$ を用いて増減表を描くと次のようになる．

$x$	$-\infty$	$\cdots$	$-\alpha$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$0$	$\searrow$	$-\dfrac{\alpha}{1+\alpha\tan\alpha}$	$\nearrow$	$\dfrac{\alpha}{1+\alpha\tan\alpha}$	$\searrow$	$0$

よって，
$x=\alpha$ で極大値 $\dfrac{\alpha}{1+\alpha\tan\alpha}$ ，
$x=-\alpha$ で極小値 $-\dfrac{\alpha}{1+\alpha\tan\alpha}$
をとる．