[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1939-01-02

1939年(昭和14年)東京帝國大學理學部-數學[1]

2022.07.24記

[1] 點 $(x,y)$ ガ曲線 $x^2y-x^2+y^2=0$ ニ沿ヒテ原點ニ近ヅクトキ， $\dfrac{x^2+4x-4y}{y^2+6y-6x}$ の極限値ヲ求ム．

2022.08.06記

[解答]
$x^2y-x^2+y^2=0$ より $x=\pm\dfrac{y}{\sqrt{1-y}}$ であり，原点近傍では
$x=\pm y\left(1+\dfrac{y}{2}\right)+o(y^3)$
となる．よって

(i) $x=y\left(1+\dfrac{y}{2}\right)+o(y^3)$ なる弧に沿って原点に近づくとき
$\dfrac{x^2+4x-4y}{y^2+6y-6x}$
$=\dfrac{y^2\left(1+\dfrac{y}{2}\right)^2+4y\left(1+\dfrac{y}{2}\right)-4y+o(y^3)}{y^2+6y-6y\left(1+\dfrac{y}{2}\right)+o(y^3)}$
$=\dfrac{3y^2+o(y^3)}{-2y^2+o(y^3)}$ $\to -\dfrac{3}{2}$ （ $y\to 0$ ）
となる．

(ii) $x=-y\left(1+\dfrac{y}{2}\right)+o(y^3)$ なる弧に沿って原点に近づくとき
$\dfrac{x^2+4x-4y}{y^2+6y-6x}$
$=\dfrac{y^2\left(1+\dfrac{y}{2}\right)^2-4y\left(1+\dfrac{y}{2}\right)-4y+o(y^3)}{y^2+6y+6y\left(1+\dfrac{y}{2}\right)+o(y^3)}$
$=\dfrac{-8y+o(y^2)}{12y+o(y^2)}$ $\to -\dfrac{2}{3}$ （ $y\to 0$ ）
となる．