[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1940年(昭和15年)東京帝國大學農學部-數學[4]

2022.07.20記

[4] 半圓ノ弧ヲ無數ニ等分シタル各分點ヨリソノ直徑ニ下ス垂線ノ平均値ヲ求メヨ．

2022.07.24記

[解答]
半円の半径を r とする．
半円の弧を n 等分したときの垂線の長さの平均を f(n) とすると
f(n)=\dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}r\sin\frac{k\pi}{n}
であるから，
\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(n)=r\int_0^1 \sin(\pi x)\, dx=\dfrac{2r}{\pi}