[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1943年(昭和18年)東京帝國大學農學部-數學[1]

[1]（イ）任意ノ三角形ノ面積(A)ヲソノ三邊ノ長サ $a,b,c$ ニテ表ハス公式：
(A) $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ ヲ導キ出セ。茲ニ $s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$ 。

（ロ）方程式 $ax^2+ay^2+bx+cy+d=0$ ガ表ハス曲線ヲ求ム。

2020.03.31記
（イ）面積の公式 $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ と（第二）余弦定理
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ から $\sin C=\sqrt{1-\cos^2 C}$ （三角形の内角では sin は正）を利用して $C$ を消去すれば得られる。

（ロ）(i) $a\neq 0$ かつ $\dfrac{b^2+c^2}{4a}-d\geqq 0$ のとき、中心 $\left(-\dfrac{b}{2a},\,-\dfrac{c}{2a}\right)$ 、半径 $\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{4a}-d}$ の円
（半径が0となり、1点を表す場合も含む）

(ii) $a= 0$ かつ $b^2+c^2\neq 0$ のとき、点 $\left(-\dfrac{bd}{b^2+c^2},\,-\dfrac{cd}{b^2+c^2} \right)$ を通り、法線ベクトルが $\begin{pmatrix} b \\ c \end{pmatrix}$ の直線

(iii) $a=b=c=d=0$ のとき、全平面

(iv) (i)〜(iii) 以外のとき、空集合