1966年(昭和41年)東京大学-数学(理科)[5](旧課程) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[5](旧課程) 2つの一次式 $3ax+2，2x+b$ に対して，
$\displaystyle\int_0^1(3ax+2)(2x+b)dx=0$
が成り立つとき， $a+b$ はどのような範囲にあるか．

2022.05.02記

[解答]
$\displaystyle\int_0^1(3ax+2)(2x+b)dx$ を計算すると
$\dfrac{3}{2}ab+2a+2b+2$
となるので，題意をみたす $a,b$ に対し，座標 $(a,b)$ は
$\dfrac{3}{2}ab+2a+2b+2=0$ ，つまり
直角双曲線 $(3a+4)(3b+4)=4$ を描く．

これと直線 $a+b=k$ が交わる条件を考えればよいが，双方のグラフが $a=b$ に関して対称となることから，接する場合は $|3a+4|=2$ かつ $2a=k$ となるときで
$\dfrac{3}{2} k +4 =\pm 2$ ，つまり $k=-4,-\dfrac{4}{3}$
となる場合であることに注意すると
$k\leqq -4$ または $-\dfrac{4}{3}\leqq k$
となる．

よって求める範囲は
$a+b\leqq -4$ または $-\dfrac{4}{3}\leqq a+b$

判別式を使うのが普通だが，直角双曲線と $a+b=k$ が登場したら、
$a+b=A$ ， $a-b=B$
と置換すると良い．

[うまい解答]
（途中から）

直角双曲線 $3ab+4(a+b)+4=0$ と直線 $a+b=k$ が交わる条件を考えればよい．
ここで $A=a+b$ ， $B=a-b$ とおくと
$ab=\dfrac{A^2-B^2}{4}$ ， $A=k$ であるから，
$3B^2=(A+4)(3A+4)$ と直線 $A=k$ が交わる条件を考えればよく，
その条件は
$(k+4)(3k+4)\geqq 0$
から
$k\leqq -4$ または $-\dfrac{4}{3}\leqq k$
となるので，求める範囲は
$a+b\leqq -4$ または $-\dfrac{4}{3}\leqq a+b$