[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1964年(昭和39年)東京大学-数学(理科)[5]

2022.04.23記

[5] 曲線 xy=1 の第1象限の部分に定点 {\rm P}(a,b) があり，同じ曲線の第3象限の部分に動点 {\rm Q} がある．

(1) 線分 {\rm QP} の長さの最小値を a で表わせ．

(2) 線分 {\rm QP} の長さが最小になるとき， {\rm QP} が x 軸の正の方向と 30^{\circ} の角をなすような a の値を求めよ．

2022.04.23記

[解答]
(1) {\rm P}(a,1/a)（a\gt 0），{\rm Q}(x,1/x) とおき
f(x)={\rm QP}^2=(x-a)^2+\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}\right)^2=(x-a)^2\left(1+\dfrac{1}{a^2x^2}\right)
とおくと，
f'(x)=\dfrac{2(x-a)}{x^3}\left(x^3+\dfrac{1}{a}\right)
であるから，x\lt 0 における増減表は

x (-\infty) \cdots -a^{-1/3} \cdots (0)
f' - 0 +
f \searrow 極小 \nearrow

となり，f(x) は x=-a^{-1/3} で極小かつ最小となる．よって最小値は (a^{2/3}+a^{-2/3})^{3/2}

(2) \rm QP の傾きは \dfrac{1/x-1/a}{x-a}=-\dfrac{1}{ax}=a^{-2/3} であり，これが \dfrac{1}{\sqrt{3}} に等しいので a=27^{1/4}