1976年(昭和51年)東京大学-数学(理科)[6]旧課程 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[6]（旧課程） $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を実数として $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ とおく．

(i) 方程式 $f(x)=0$ が4個の相異なる実根をもつとき，実数 $k$ に対して，方程式 $f(x)+kf'(x)=0$ の実根の個数を求めよ．

(ii) $2$ つの方程式 $f(x)=0$ ， $f''(x)=0$ が $2$ 個の相異なる実根を共有するとき，曲線 $y=f(x)$ は $y$ 軸に平行なある直線に関して対称であることを示せ．

2019.04.03記

[解答]
(i) $f'(x)=0$ の解を小さい順番に $p，q，r$ とおくと $f(p)\lt 0，f(q)\gt 0，f(r)\lt 0$ である．
$g(x)=f(x)+kf'(x)$ とおくと，これは4次式で $g(p)\lt 0，g(q)\gt 0，g(r)\lt 0$ であるから， $g(x)=0$ の実根の個数は4つ．

(ii) $\alpha=-\dfrac{a}{4}$ とおき， $f(x)=(x-\alpha)^4+s(x-\alpha)^2+t(x-\alpha)+u$ とおく．
$f(x)$ は $f''(x)=12(x-\alpha)^2+2s$ で割り切れるので，
$f(x)=\dfrac{1}{12}f''(x)\left\{(x-\alpha)^2+\dfrac{5s}{72}\right\}+t(x-\alpha)+u-\dfrac{5}{36}s^2$ から $t=0，u=\dfrac{5}{36}s^2$ となる．
よって， $f(x)=(x-\alpha)^4+s(x-\alpha)^2+\dfrac{5}{36}s^2$ となり， $x=\alpha$ に関して対称となる．

2020.02.27追記

多項式 $f(x)$ について、 $f(x)$ を $f''(x)$ で割った余りを $r(x)$ とすると、 $y=r(x)$ は $y=f(x)$ の全ての変曲点を通る。
今、 $f(x)$ が $f''(x)$ で割り切れるので、 $y=f(x)$ の全ての変曲点は $x$ 軸上にあることがわかる。
本問(ii)の場合、4次関数に2つ変曲点があり、その $y$ 座標が等しいならば、その4次関数は線対称となるということを示している。

2023.08.16追記
[解答] で $x-\alpha =X$ とおくと
$X^4+sX^2+tX+u$ が $12X^2+2s$ で割り切れる条件を考えることになるが， $X$ の奇数乗の項が $tX$ しかないので，これを割り算で変化させることはできないから $t=0$ はほぼ自明であり，よって
偶関数 $X^4+sX^2+u$ が $Y$ 軸対称であることがわかる．