1994年(平成6年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.10記

[3] $xyz$ 空間において条件 $x^2+y^2 \leqq z^2$ ， $z^2 \leqq x$ ， $0 \leqq z \leqq 1$ をみたす点 $\mbox{P}(x,y,z)$ の全体からなる立体を考える．この立体の体積を $V$ とし， $0\leqq k\leqq 1$ に対し， $z$ 軸と直交する平面 $z=k$ による切り口の面積を $S(k)$ とする．

(1) $k=\cos\theta$ とおくとき $S(k)$ を $\theta$ で表せ．ただし $0\leqq \theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ とする．

(2) $V$ の値を求めよ．

本問のテーマ

ベータ関数と三角関数の積分

2024.01.12記

[解答]
(1) $S(k)=2 \left\{\dfrac{1}{2}k^2\theta-\dfrac{1}{2}k^2\cdot k\cdot \sin\theta\right\}$ $=\theta\cos^2\theta-\cos^3\theta\sin\theta$
である．

(2) $V=\displaystyle\int_{k=0}^{k=1} S(k) dk$ ， $dk=-\sin\theta\,d\theta$ により
$V=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\theta\cos^2\theta-\cos^3\theta\sin\theta)\sin\theta\,d\theta$
$=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\theta\cos^2\theta\sin\theta-\cos^3\theta\sin^2\theta)\,d\theta$
である．

ここで
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta$ $=\left[-\dfrac{\theta\cos^3\theta}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3\theta\,d\theta$ $=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos\theta-\sin^2\theta\cos\theta)\,d\theta$ $=\dfrac{1}{3}\left[ \sin\theta-\dfrac{\sin^3\theta}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $=\dfrac{2}{9}$
であり，
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3\theta\sin^2\theta\,d\theta$ $=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin^2\theta\cos\theta-\sin^4\theta\cos\theta)\,d\theta$ $=\left[ \dfrac{\sin^3\theta}{3}-\dfrac{\sin^5\theta}{5}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $=\dfrac{2}{15}$
であるから，
$V=\dfrac{2}{9}-\dfrac{2}{15}=\dfrac{4}{45}$
となる．

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^s\theta\sin^t\theta\,d\theta$ $=\dfrac{1}{2}B\left(\dfrac{s+1}{2},\dfrac{t+1}{2}\right)$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\Gamma\left(\dfrac{s+1}{2}\right)\Gamma\left(\dfrac{t+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\dfrac{s+t+2}{2}\right)}$
であるから，
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3\theta\,d\theta$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\Gamma(2)\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\dfrac{5}{2}\right)}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1\times\sqrt{\pi}}{\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\pi}}=\dfrac{2}{3}$ ，
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3\theta\sin^2\theta\,d\theta$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\Gamma(2)\Gamma\left(\dfrac{3}{2}\right)}{\Gamma\left(\dfrac{7}{2}\right)}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1\times\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}}{\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\pi}}=\dfrac{2}{15}$
が成立する．