2024.02.20記
[7] 座標平面上に点 がある.原点を とし,0より大きい整数 に対して点 の座標を とする().このとき,以下の問に堪えよ.
(1) の外接円の面積を としたとき, はいくらか.
(2)(i) 実数 について, とおいたとき, を で表せ.
(ii) 定積分 の値を求めよ.
(3) の内接円の半径を としたとき, はいくらか.
テーマは双曲線のパラメータ表示との積分.
と考えれば, つまり双曲線 の面積を求める形になっている.
この双曲線のパラメータ表示 が与えられれば,
と置換できることがわかる.
例えば,, とパラメータ表示したものが本問であり,
大学では とおいた ,(双曲線関数)を習う.
[解答]
(1) の外接円の半径は斜辺 の長さの半分 だから,その面積 となる.よって
となる.
(1) の外接円の半径は斜辺 の長さの半分 だから,その面積 となる.よって
となる.
(2)(i) だから となる.
(ii) だから となるので
となる.
(3) の内接円の半径は斜辺が であることから
となるので,
となる.
ちなみに
となる.