[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1947-01-03

1947年(昭和22年)東京帝國大學理學部-數學[2]

2022.07.16記

[2] 一つの矩形の四頂點を過る二次曲線は，この矩形と中心を共有する有心二次曲線なることを説明せよ．

2022.07.16記

[解答]
平行移動と回転により矩形の4頂点の座標を $(\pm p.\pm q)$ ( $p,q\neq 0$ ，複号任意)として良く，このとき矩形の中心は原点である．

二次曲線を
$ax^2+2hxy+by^2+cx+dy+e=0$
とおくと
$ap^2+2hpq+bq^2+cp+dq+e=0$ …(i)，
$ap^2+2hpq+bq^2-cp-dq+e=0$ …(ii)，
$ap^2-2hpq+bq^2-cp+dq+e=0$ …(iii)，
$ap^2-2hpq+bq^2+cp-dq+e=0$ …(iv)
が成立する．
(i),(ii) より
$ap^2+2hpq+bq^2+e=0$ ， $cp+dq=0$
(iii),(iv) より
$ap^2-2hpq+bq^2+e=0$ ， $cp-dq=0$
であるから，結局
$ap^2+bq^2+e=0$ ， $2hpq=cp=dq=0$
となり， $p\neq 0,q\neq 0$ より
$2h=c=d=0$
であるから，矩形の4頂点を通る二次曲線は
$ax^2+by^2+e=0$
の形であり，これは原点対称であるから，それは有心2次曲線である．