2022年(令和4年)京都大学-数学(理系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.27記

[5] 曲線 $C:y=\cos^3 x$ $\left(0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ ， $x$ 軸および， $y$ 軸で囲まれる図形の面積を $S$ とする． $0\lt t \lt\dfrac{\pi}{2}$ とし， $C$ 上の点 ${\rm Q}(t, \cos^3 t)$ と原点 $\rm O$ ，および ${\rm P}(t,0)$ ， ${\rm R}(0,\cos^3 t)$ を頂点にもつ長方形 $\rm OPQR$ の面積を $f(t)$ とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1) $S$ を求めよ．

(2) $f(t)$ は最大値をただ $1$ つの $t$ でとることを示せ．そのときの $t$ を $\alpha$ とすると， $f(\alpha)=\dfrac{\cos^4\alpha}{3\sin\alpha}$ であることを示せ．

(3) $\dfrac{f(\alpha)}{S}\lt\dfrac{9}{16}$ を示せ．

2022.02.27記

[解答]

(1) $C:y=\cos^3 x$ $\left(0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ はこの範囲で単調減少で $x=\dfrac{\pi}{2}$ で $y=0$ となるので，
$S=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 x dx$ $=\displaystyle\int_0^{\pi/2} (1-\sin^2 x)\cos x dx$
より， $\sin x=u$ と置換すると
$S=\displaystyle\int_0^{1} (1-u^2)du$ $=\Bigl[u-\dfrac{u^3}{3}\Bigr]_0^1$ $=\dfrac{2}{3}$
となる．

(2) $f(t)=t\cos^3 t$ である．
$f'(t)=\cos^3 t-3t\cos^2 t \sin t$ $=3\cos^3 t\left(\dfrac{1}{3}-t\tan t\right)$
であり， $t,\tan t$ はともに $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ において単調増加だから，
$t\tan t$ もこの区間において単調増加となる．そして $t=0$ で $0$ ， $t\to\dfrac{\pi}{2}$ で $t\to+\infty$ であるから， $t\tan t=\dfrac{1}{3}$ をみたす $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ をみたす実数がただ1つだけ存在する．これを $\alpha$ とすると， $f(t)$ の増減表は

$t$	$(0)$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$
$f'$		$+$	$0$	$-$
$f$	$0$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$0$

のようになり，最大値はただ1つの $t$ でとる．

このとき， $\alpha\tan \alpha=\dfrac{1}{3}$ であるから，
$f(\alpha)=\alpha \cos^3\alpha=\dfrac{1}{3\tan\alpha}\cdot\cos^3\alpha$ $=\dfrac{\cos^4\alpha}{3\sin\alpha}$
である．

(3) (1) より $\dfrac{f(\alpha)}{S}\lt\dfrac{9}{16}$ を示すには， $\dfrac{\cos^4\alpha}{\sin\alpha}\lt \dfrac{9}{8}$ を示せば良い．
$g(\alpha)=\dfrac{\cos^4\alpha}{\sin\alpha}$ とおくと，区間 $0\leqq \alpha\leqq \dfrac{\pi}{2}$ において，分子は正の範囲で単調減少，分母は正の範囲で単調増加であるから， $g(\alpha)$ は区間 $0\leqq \alpha\leqq \dfrac{\pi}{2}$ において単調減少である．

ここで，
$\dfrac{\pi}{6}\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6\sqrt{3}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}$ $\lt \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3.2}{2\cdot 1.7} \lt\dfrac{1}{3}$
から， $\dfrac{\pi}{6}\lt \alpha$ となるので，
$g(\alpha)\lt g\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{9}{8}$
となり題意は示された．