1948年(昭和23年)東京大学医学部医学科-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.04.03記

[3] 三箇ノ變數 $x$ ， $y$ ， $u$ 間ニ $F(u)=f(x)+g(y)$ ナル關係アルトキ之を表ワス計算尺ヲ工夫セヨ．

2020.04.03記
問題文がおかしかったが、文献が1つだけなので比較できず妥当な問題文 $f(u)=f(x)+g(y)$ に変更した。これが正しい問題文とは限らないことに注意しておく。

$f,\,g$ は狭義単調であるとする。 $U=f(u),\,X=f(x),\,Y=g(y)$ とすると、 $U=X+Y$ となるから、一方の尺に長さ $f$ で目盛を刻み、もう一方の尺に $0$ （基点と呼ぶことにする）を設け、基点から長さ $g$ で目盛を刻む。

~~このとき、 $f$ の尺の $x$ に $g$ の尺の基点を合せて、 $g$ の尺の $y$ と合う $f$ の尺の場所が $u$ なる。~~

2020.04.06記
$f,\,g,\,F$ は狭義単調であるとする。

まず、計算図表において、3本の平行線を等間隔に引き、左側の線に $f(x)$ で目盛を刻み、右側の線に $g(y)$ で目盛を刻むと、 $f(x)$ と $g(y)$ の中点には $\dfrac{f(x)+g(y)}{2}$ が対応するので、真ん中の線に $\dfrac{F(u)}{2}$ を刻めば、左側の線の $x$ と右側の線 $y$ を結ぶ直線と真ん中の線の交点が、 $u$ として得られることがわかる。

この計算図表だと、求める軸が内分点となるので、計算尺としては使いにくいので、外分点で表現することを考える。

[別解]
$f,\,g,\,F$ は狭義単調であるとする。
3本の平行線を等間隔に引き、左側の線に $f(x)$ で目盛を刻み、真ん中の線に $-\dfrac{g(y)}{2}$ で目盛を刻むと、右側の線には、 $-f(x)-g(x)$ が対応するので、右側真ん中の線に $-F(u)$ を刻めば、左側の線の $x$ と真ん中の線 $y$ を結ぶ直線と右側の線の交点が、 $u$ として得られることがわかる。

これを計算尺で表現する（平行線は横向きの直線であると考える）

1本目の尺の上側に $f(x)$ で目盛を刻み、下側に普通の定規の目盛をつける

2本目の尺の上下に普通の定規の目盛を 0 が同じ場所にくるようにつけ、真ん中に $-\dfrac{g(y)}{2}$ で目盛を刻む

3本目の尺の上側に普通の定規の目盛をつけ、下側に $-F(u)$ で目盛を刻む。

ここで、3本の尺の普通の定規の目盛の0をカーソル線にあわせたときに $F(u)=f(x)+g(y)$ の関係があるように尺の上側の目盛を刻んでおくものとする。

この計算尺を用いて計算する方法は、

1. カーソル線で、1本目の尺の上側の $x$ と 2本目の尺の上側の $y$ をあわせる。

2. このとき、1本目の尺の下側の 0 に対応する2本目の尺の上側の数字を読みとり、それを $a$ とする（負の数になることもある）

3. 2本目の尺の下側の 0 に3本目の尺の上側の $a$ をあわせる。

4. カーソル線で、3本目の尺の下側の数字 $u$ を読みとる。

と、ここまで書いてみて思ったが、カーソル線を使うのであれば、わざわざ外分にしなくても、内分のままでもできなくもない。ただその場合、外分のときに用いた普通の定規で対応する数字の読みとりが、少々面倒になる（外分なので2つの定規で対応する数字が隣り合うが、内分の場合は離れてしまうので、カーソル線上の数字を読みとって引き算をしなければならなくなる）。