[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

[2] 直交座標において楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の上の点から，直線 $y=mx+c$ までの距離の最小値を求めよ．

2020.03.26記

[解答]
楕円の傾き $m$ の接線は、
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ と $y=mx+c$ を連立して $y$ を消去して得られる $x$ の2次方程式の判別式が0となる条件から、 $c=\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$ となるので、

(i) $c \lt -\sqrt{a^2m^2+b^2}$ のとき、 $\dfrac{|c+\sqrt{a^2m^2+b^2}|}{\sqrt{1+m^2}}$

(ii) $-\sqrt{a^2m^2+b^2} \lt c \lt \sqrt{a^2m^2+b^2}$ のとき、 $0$

(iii) $\sqrt{a^2m^2+b^2} \lt c$ のとき、 $\dfrac{|c-\sqrt{a^2m^2+b^2}|}{\sqrt{1+m^2}}$