2022年(令和4年)東京大学-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.26記

[2] $y=x^3-x$ により定まる座標平面上の曲線を $C$ とする。 $C$ 上の点 ${\rm P}(\alpha,\alpha^3-\alpha)$ を通り，点 $\rm P$ における $C$ の接線と垂直に交わる直線を $\ell$ とする。 $C$ と $\ell$ は相異なる3点で交わるとする。

(1) $\alpha$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $C$ と $\ell$ の点 $\rm P$ 以外の2つの交点の $x$ 座標を $\beta,\gamma$ とする。ただし $\beta\gt\gamma$ とする。 $\beta^2+\beta\gamma+\gamma^2-1\neq 0$ となることを示せ。

(3) (2) の $\beta,\gamma$ を用いて，
$u=4\alpha^3+\dfrac{1}{\beta^2+\beta\gamma+\gamma^2-1}$
と定める。このとき， $u$ のとりうる値の範囲を求めよ。

2022.02.26記

[解答]

$f(x)=x^3-x$ とおく。

$\rm P$ における接線の傾きは $f'(\alpha)$ であり， $f'(\alpha)=0$ のときは法線が $x=\alpha$ となり $C$ とは再び交わらないので不適だから， $f'(\alpha)\neq 0$ である．

よって $l$ の方程式は
$y=-\dfrac{1}{f'(\alpha)}(x-\alpha)+f(\alpha)$ であるから，
$f(x)=-\dfrac{1}{f'(\alpha)}(x-\alpha)+f(\alpha)$
が相異なる3つの実数解(1つは $\alpha$ )をもつ条件を考える。
$f(x)=-\dfrac{1}{f'(\alpha)}(x-\alpha)+f(\alpha)$
$f(x)-f(\alpha)=(x-\alpha)(x^2+\alpha x+\alpha^2-1)$ となることに注意すると，
$x^2+\alpha x+\alpha^2-1+\dfrac{1}{f'(\alpha)}=0$
が $x\neq\alpha$ である相異なる2実数解をもてばよいが， $C$ とその法線を連立させた方程式が接点で重解をもつことは接しないのでありえないので、この2次方程式は $x=\alpha$ を解には持たない。

よって求める条件は判別式から
$\alpha^2-4\left(\alpha^2-1+\dfrac{1}{f'(\alpha)}\right)\gt 0$
つまり
$f'(\alpha)\{(4-3\alpha^2)f'(\alpha)-4\}\gt 0$
が求める条件である． $f'(\alpha)=3\alpha^2-1$ を用いて整理すると
$(3\alpha^2-1)\{(3\alpha^2-1)(4-3\alpha^2)-4\}\gt 0$
つまり
$(3\alpha^2-1)(9\alpha^4-15\alpha^2+8)\lt 0$
となるが，
$9\alpha^4-15\alpha^2+8=\left(3\alpha^2-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\gt 0$
だから，求める条件は $3\alpha^2-1\lt 0$ ，つまり $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\lt \alpha \lt\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

(2) 解と係数の関係により
$\beta+\gamma=-\alpha$ ， $\beta\gamma=\alpha^2-1+\dfrac{1}{f'(\alpha)}$
であるから，
$\beta^2+\beta\gamma+\gamma^2-1$ $＝(\beta+\gamma)^2-\beta\gamma-1$ $=\alpha^2-\left(\alpha^2-1+\dfrac{1}{f'(\alpha)}\right)-1$
$=\dfrac{1}{f'(\alpha)}\neq 0$
である．

(3) (1)(2) より
$u=4\alpha^3+f'(\alpha)$ $=4\alpha^3-3\alpha^2+1$ の $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\lt \alpha \lt\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ における値域を求めれば良い．

$u'=6\alpha(2\alpha-1)$ より増減表は

$\alpha$	$-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{1}{2}$	$\cdots$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$u'$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$u$	$-\dfrac{4}{3\sqrt{3}}$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$\dfrac{3}{4}$	$\nearrow$	$\dfrac{4}{3\sqrt{3}}$

となるので， $-\dfrac{4}{3\sqrt{3}}\lt u \leqq 1$ となる．